Name: Interpolasi Lagrange
Uploaded: 2024-04-24

Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas konsep Interpolasi Lagrange dalam Analisis Numerik, di mana basis Lagrange digunakan untuk mencari polinomial interpolasi dengan data X dan Y. Basis ini terdiri dari faktor linier dan menggunakan simbol pi untuk perkalian. Dengan menggunakan basis Lagrange, koefisien polinomial interpolasi dapat langsung diperoleh tanpa perlu konstruksi polinomialnya. Hal ini memudahkan dalam mencari atau mengkonstruksikan polinomial interpolasi, karena nilai koefisien sama dengan nilai Y yang diberikan.

Baik, jadi yang kedua adalah basis lagrang.

Dimana tadi kalau kita masih memiliki data X0, Y0 sampai dengan Xn, Yn itu sebagai data,

maka basis Ki dari lagrang itu akan sama dengan X dikurang X0, dikalikan X dikurang X1,

dikalikan dengan X dikurang XI-1, perhatikan ini basis Ki, saya berhenti di XI-1 tapi saya loncatin XI,

ini XI, X dikurang XI plus 1, terakhir adalah X dikurang Xn.

Perhatikan karena tidak ada XI di sini, maka jumlah sukunya ini adalah n,

kalau saya perhatikan ini masing-masing adalah faktor linier, saya kalikan n kali berarti benar bahwa LEX itu polinomial order n.

Nah, ini harus saya bagi dengan pembaginya itu selalu XI di sini, XI dikurang X0, XI dikurang X1,

tidak boleh ada XI dikurang XI, jadi XI dikurang XI-1, XI dikurang XI plus 1, terakhir adalah XI dikurang Xn.

Nah, notasi matematisnya adalah kita menggunakan simbol pi atau pi, ini adalah nested multiplication atau perkalian dengan simbol seperti ini.

Jadi, selalu saya mengatakan di sini yang berjalan adalah j, maka j itu tidak boleh sama dengan I,

yang di atasnya adalah X dikurang Xj, pembaginya adalah XI dikurang Xj.

Jadi, kalau penjumlahan kita pakai notasi sigma, kalau untuk perkalian kita pakai notasi pi seperti ini atau pi.

Hanya shorthand artinya memperpendek untuk penulisan ini saja sebetulnya, jadi Anda bisa menahaminya hanya sebagai notasi.

Oke, sekarang apa yang terjadi kalau saya masukkan Xj pada LE?

Saya masukkan Xj, maka apabila I atau j sama dengan I, kalau j nya sama dengan I, berarti di sini saya dapatkan XI dikurang Xj,

yang bawahnya XI dikurang Xj, berarti dia akan selalu sama dengan 1 jika j nya itu sama dengan I.

Di sini saya masukkan Xj, saya substitusikan Xj, kalau saya masukkan XI di sini, berarti LE XI itu pasti akan sama dengan 1.

Nah, sekarang apabila tidak sama, misalkan I plus 1 Xj nya, kalau XI plus 1 saya taruh di sini, maka suatu saat akan ada XI plus 1 dikurang XI plus 1.

Bagaimana dengan kalau ini saya masukkan XI min 3, maka di sini suatu saat akan ada XI min 3 kurang XI min 3, jadi akan selalu 0.

Pembagi sudah konstan, tapi yang dibagiin yang diatas ini suatu saat atau suatu ketika akan 0, karena akan sama antara yang X nya dengan yang pengurangnya.

Jadi apabila j tidak sama dengan I, maka dia akan selalu bernilai 0.

Nah, akibatnya apa? Kita bayangkan matrik kita tadi, di diagonal ini A0 sampai dengan AN, ini akan sama dengan Y0 sampai dengan YN.

Di diagonal, ini kan I sama dengan J, berarti selalu 1 di diagonal.

Di luar diagonal, I tidak sama dengan J, berarti dia akan selalu 0.

Jadi semua yang di luar diagonal akan 0, semua yang di diagonal akan 1, ini disebut dengan matrik identitas.

Nah, karena ini matrik identitas, berarti artinya apa? Saya sudah temukan simpulannya, A yang ke I akan sama dengan Y yang ke I.

Jadi tidak ada lagi keperluan kita untuk mencari koefisien, karena koefisiennya sudah sama dengan nilai Y itu sendiri.

Jadi kalau kita menggunakan basis lagrang, kemudahan yang kita peroleh adalah saya tidak perlu konstruksi dari polinomial interpolasinya, langsung tersedia koefisien-koefisiennya.

Jadi solusinya sudah saya temukan, basisnya saya sudah bisa hitung, sehingga dengan basis lagrang semuanya memang akan menjadi mudah untuk mencari atau mengkonstruksikan polinomial tersebut.