Name: Algoritma Sistem Persamaan Nonlinear: Komputasi Matriks Jacobi
Uploaded: 2024-04-16

Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas pengembangan fungsi dalam Octave atau MATLAB untuk menghitung matriks Jacobian dari suatu fungsi F. Proses penghitungan melibatkan iterasi baris demi baris dengan menggunakan loop untuk menghasilkan matriks Jacobian berdimensi n kali n. Langkah-langkah detail termasuk penggunaan variabel X0, perhitungan entry matriks J, dan pengujian fungsi dengan contoh sederhana. Hasilnya adalah matriks Jacobian yang dapat digunakan untuk analisis numerik dalam menyelesaikan sistem persamaan nonlinear.

Sekarang kita akan tunjukkan bagaimana mengembangkan suatu fungsi dalam Octave atau MATLAB

untuk menghitung matrik Jacobian dari suatu fungsi F besar.

Outputnya adalah matrik J, ini saya namakan jacobian misalnya

dan inputnya itu adalah fungsi F kemudian titik dimana kita akan menghitungnya,

Pertama kita membutuhkan n, dimensi dari problemnya dengan cara melihat panjang dari vektor X gitu ya.

Vektor X0 ini panjangnya adalah n dan ini akan menyatakan dimensi dari problem saya.

Kenapa itu saya butuhkan? Karena j itu nanti akan berdimensi n kali n.

Nah selanjutnya saya akan menghitung entry j itu secara baris demi baris.

Jadi saya akan pakai loop terluarnya adalah loop kolom jadi for j sama dengan 1 sampai n,

Kemudian barisnya saya namakan i, itu dari 1 sampai n.

Perhatikan tadi bahwa kalau saya menghitungnya baris per baris maka Fnya tidak akan berubah pada baris itu.

Tapi kalau saya menghitungnya kolom per kolom maka Xnya yang tidak berubah jadi tergantung mana yang kita inginkan.

Dalam hal ini karena saya menghitungnya baris per baris maka variabelnya akan selalu berubah di setiap entry loop.

Jadi pertama saya akan ambil katakanlah variabel yang saya sebut dengan X0 plus H,

saya buat XOPH, ini kan mula-mula sama dengan X0.

Kemudian seperti yang tadi saya sudah tuliskan bahwa komponen ke j nya jadi X0PH yang ke j itu harus saya tambahkan H.

Jadi tadi saya lupa mendefinisikan H sama dengan 10 pangkat minus 5 jadi i minus 5 jadi ini adalah notasi untuk 10 pangkat minus 5.

Jadi pertama adalah komponen ke j dari X0PH itu saya akan tambahkan dengan H, yang lain tidak.

Jadi hanya yang ke j saja yang saya perlu tambahkan H.

Kemudian saya juga membutuhkan variabel yang tadi plus yang sekarang minus, jadi kalau X0-H mula-mula akan sama dengan X0.

Kemudian yang ke j nya, saya baru menyadari bahwa j itu adalah indeks yang tidak berada dalam i, jadi ini akan kita keluarkan dari loops i.

Jadi saya akan taruh ini di luar, di luar loop i, karena dia memang tidak tergantung pada indeks dari i yaitu indeks baris.

Jadi ternyata saya baru menyadari bahwa kita menghitung j nya ini kolom per kolom, bukan baris per baris karena loop saya adalah j di luar.

Jadi pada saat i nya berjalan, berarti saya berjalan sepanjang kolom k, jadi disini ada X0-H yang ke j itu harus saya kurangi, X0-H yang ke j dikurangi dengan H.

Sudah saya dapatkan, nah apa yang disebut dengan j i, j, ingat j besar itu adalah matrik tapi j kecil adalah indeks, itu adalah F.

Yang ke i, jadi sekarang saya harus memanggil terlebih dahulu F, saya panggil terlebih dahulu F, jadi saya namakan sekarang F0-H.

F X0-H itu adalah sama dengan F dari X0-H, ini saya panggil fungsinya untuk mendapatkan vektor.

Kemudian yang namanya F0-H itu akan sama dengan F dari titik X0-H.

Selanjutnya yang disebut dengan j, i, j itu adalah F0-H tapi hanya yang ke i, dikurangi dengan F0-H lagi-lagi juga yang ke i.

Selesai, jadi saya sekarang sudah mendapatkan elemen yang ke j, i, j dari jakobian saya yang akan saya simpan secara keseluruhan pada matrik j.

Oke ini kita simpan seperti biasanya, ini saya namakan jakobian dan ini file dengan ekstensi M atau file oktav.

Saya membutuhkan file lain untuk melihat apakah ini sudah berjalan atau tidak, yaitu kita harus menifinisikan fungsinya, jadi fungsinya F itu kita harus nifinisikan.

Jadi saya namakan sekarang fungsi func.m, ini saya akan nifinisikan.

Oke, saya tidak membutuhkan komentar yang terlalu panjang, komennya saya tidak akan ambil, saya delete semua.

Ini adalah nilainya, kemudian ini inputnya cuman satu yaitu x0,

dimana x0 merupakan vektor, sebetulnya tidak perlu x0, x saja, dia merupakan fungsi x, x ini adalah vektor.

Oke, sekarang saya nifinisikan, katakanlah kita ambil contoh yang seperti tadi, kita hanya punya dua yaitu F1 sama dengan,

ya ini juga saya harus paksakan agar Fnya itu ke bawah, jadi saya buat agar F itu saya declare sebagai fungsi 0 berdimensi 2 x 1,

jadi dia ke bawah, kemudian saya ambil F1nya, katakanlah kayak tadi yaitu x1, katakanlah pangkat 3 misalnya gitu ya,

kalikan dengan x2, kuadrat, jadi untuk melihat fungsi yang sederhana tapi dia non-linear,

kemudian dikurangi x1, kemudian saya kalikan dengan cosinus, cosinus dari x2,

kemudian ditambah 3 atau ditambah 2, ini adalah F1nya, kemudian F2nya misalnya sama dengan kita ambil begini saja,

x1 atau eksponensial, tadi kita pakai eksponensial, dari minus x1 kali x2,

kemudian ditambah katakanlah 2 atau 3 kali x1, kalikan x2, kuadrat misalnya, minus 4, total minus 4,

jadi saya sudah punya sekarang suatu fungsi namanya FUNC, jadi cara memanggilnya memanggil FUNC ini dan itu akan menghasilkan suatu faktor F,

ini saya simpan, sudah, sekarang saya coba panggil misalnya saya punya x0, katakanlah di titik 1,1 ini adalah titik x0 saya,

itu 1,1, berapakah nilai J atau matrik J pada titik ini, jakobian, saya masukkan sekarang fungsinya adalah FUNC yang akan menggantikan F,

kemudian x0 sebagai input, jadi menurut hitungan ini adalah nilai matrik jakobiannya di titik x0,

dimana fungsi kita adalah fungsi FUNC yang tadi kita sudah definisikan,

benar dia merupakan matrik 2 kali 2, tapi saya belum bisa meyakinkan apakah nilai ini sudah benar atau tidak,

kita coba cek, tapi karena tadi fungsinya itu ada cosinus, ada eksponensial, tidak terlalu mudah sih sebetulnya untuk mengetesnya,

jadi kalau kita lihat disini turunan pertama dari F1 terhadap x1 ini akan kita perlu lihat 3 kali,

jadi ini kalikan x2, tapi masih dikurangi dengan x1 kali cos, kemudian ditambah 2,

jadi kalau tadi kita peroleh 2, saya pikir cukup masuk akal 2,4, karena dia memang pernah dikurangi dan pernah juga ditambah,

jadi basically itu akan meroleh apa yang kita sebut dengan matrik jakobian dari suatu fungsi.