Name: Algoritma Faktorisasi LDL^T Dengan atau Tanpa Pivoting untuk Matriks Simetrik
Uploaded: 2024-02-21

Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas algoritma faktorisasi LDL^T dengan atau tanpa pivoting untuk matriks simetrik. Algoritma tanpa pivoting melibatkan langkah-langkah seperti penyelesaian L Y = B, D W = Y, dan L^T X = W. Sedangkan dengan pivoting, pertimbangan pertukaran baris dan kolom mempengaruhi penyesuaian pada X. Pivoting diagonal mempertahankan urutan variabel yang tepat tanpa perlu dua indeks untuk matriks permutasi. Implementasi faktorisasi matriks simetrik dengan fitur pivoting diagonal akan dibahas lebih lanjut.

Nah namun sekarang bagaimana summary-nya untuk algoritma ini yang tanpa pivoting.

ik sama dengan B, ini akan berubah menjadi L D L transpose, A-nya menjadi ini,

Berarti pertama, saya misalkan secara keseluruhan ini akan sama dengan Y,

berarti selesaikan L Y sama dengan B, itu langkah pertama.

Langkah kedua, memakan yang di dalam ini adalah W, berarti D kali W sama dengan Y.

Terakhir, L transpose dikalikan X sama dengan W.

Perhatikan bahwa di langkah kedua ini sebetulnya artinya W I sama dengan Y I dibagi dengan D I,

Jadi tidak perlu ada suatu algoritma khusus untuk menyelesaikan tahap dua.

Tahap pertama anda pakai, karena matrik segitiga bawah berarti eliminasi forward,

kemudian yang L transpose X karena ini segitiga atas,

dia substitusi mundur atau back substitution.

Sekarang bagaimana kalau ternyata atau dalam hal kita melakukan pivoting?

Perhatikan bahwa pivot itu artinya saya sudah melakukan pertukaran baris dan kolom.

Supaya anda jelas, saya akan tuliskan dari awal bahwa original problem kita adalah A X sama dengan B.

Kalau saya kalikan dengan pivot atau matrik permutasi dari kiri, P A X sama dengan P B.

Ini yang tadi kita katakan pertukaran baris itu akan menyebabkan B harus saya tukar.

Tapi kalau di sini saya lakukan pertukaran kolom, maka saya harus melakukan penyesuaian pada X.

Kenapa? Karena matrik permutasi itu sifatnya toggle, jadi kalau saya permutasi-permutasi ulang,

dia kembali ke semula berarti P transpose P itu akan sebutnya identitas.

Identitas bisa saya insert di sini, di dalam sini.

Yang sama dengan L D L transpose itu adalah ini.

Jadi L D L transpose dikalikan P X sama dengan P B.

Tapi ingat, akibat dari pertukaran kolom maka urutan dari variablenya juga berubah.

Namun ingat bahwa karena kita melakukan diagonal pivoting,

pada saat saya tukar tadi 7 naik ke sini, 7 ini indeks baris maupun kolomnya sama.

Berarti tidak perlu ada dua indeks untuk P, P nya itu sama saja.

P itu adalah indeks baris sekaligus indeks kolom.

Ini yang akan kita lihat implementasinya sebentar lagi,

yaitu bagaimana melakukan faktorisasi matrik simetrik

kalau kita tambahkan fitur pivoting diagonal.