Name: Faktorisasi LDL^T untuk Matriks Simetrik
Uploaded: 2024-02-21

Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas faktorisasi LDL^T untuk matriks simetrik. Faktorisasi ini memungkinkan penyelesaian matriks simetrik dengan biaya yang lebih murah karena memanfaatkan sifat khusus dari matriks simetrik. Matriks simetrik dapat dibagi menjadi dua kasus: simetrik indefinite dan simetrik positif definite. Metode faktorisasi ini hanya berlaku untuk matriks simetrik dan non-singular. Faktorisasi dilakukan dengan membagi matriks A menjadi L, D, L^T, di mana L adalah matriks segitiga bawah dengan diagonal berisi satu, dan D adalah matriks diagonal. Proses ini membutuhkan pivoting khusus jika elemen diagonal matriks A adalah nol, yang disebut pivoting diagonal.

Oke, sampai di sini kita sudah membahas metode penyelesaian kompleksitas dan akurasi.

Nah, kompleksitas ataupun cost dari algoritma kita itu masih relatif expensive atau mahal,

Pertanyaannya, bisakah itu kita reduce, kita tekan?

Jawabannya, ternyata itu hanya akan bisa kita tekan apabila matrix input kita,

Nah, ada beberapa matrix khusus yang biasanya dikembangkan secara khusus algoritmanya,

tapi kita hanya akan membahas satu kasus saja yaitu matrix simetrik.

Ternyata kalau matrix input kita, matrix A-nya adalah simetrik,

maka cost kita itu kira-kira setengah dari yang umum.

Kita bisa tekan, kita bisa buat menjadi setengah dari biaya atau cost

Kita akan bagi dua matrix simetriknya, yaitu matrix simetrik umum,

Kita tahu simetrik artinya bahwa matrix transpose dari A sama dengan A sendiri.

Ada dua kasus, pertama adalah simetrik indefinite

atau kita bisa katakan matrix simetrik umum,

yang kedua adalah simetrik dan positif definite.

Kenapa tidak perlu dibahas yang kasus negatif definite?

Ternyata kalau A-nya negatif definite tinggal kita minuskan saja dia menjadi positif definite.

Sehingga metode untuk menyelesaikan positif definite, simetrik positif definite

bisa juga digunakan untuk yang negatif definite,

tapi yang indefinite tidak bisa menggunakan ini.

Apa yang nanti saya akan definisikan secara khusus apa yang dimaksud dengan matrix positif definite,

tapi sementara ini anggap saja bahwa pokoknya ini bekerja untuk matrix apapun

yang penting dia simetrik dan non-singulir.

Yang kita sebut dengan matrix simetrik indefinite.

Yang akan kita lakukan adalah, jadi jika A adalah matrix simetrik

maka kita dapat melakukan faktorisasi, terdapatlah matrix segitiga bahwa

satuan, ini terminologi yang kita maksud unit lower triangular artinya

matrix segitiga bawah yang diagonalnya semuanya satu,

namakan L, dan matrix diagonal D, sehingga A itu akan sama dengan L, D, L transpose.

Oke, L kali D kali L transpose, perhatikan ini sama, jadi L transpose di sini.

Sebelumnya kita bicara tentang LU, perhatikan bahwa saya punya dua matrix, L dan U.

Sekarang enggak, saya punya hanya satu matrix, L, yang diagonal ini kan sebutnya satu faktor,

jadi dengan adanya perhitungan ini, maka saya hanya perlu menghitung setengah dari

beban perhitungan, karena saya hanya menghitung elemen matrix L doang, L saja,

yang D adalah elemen diagonal, yang N sifatnya, jumlah elemen pada L itu adalah N kuadrat per dua.

Kalau kemarin, U harus saya hitung juga, akibatnya jadi N kuadrat, elemen yang perlu dihitung,

itu saja yang akan menyebabkan kenapa faktorisasi ini akan lebih murah dibanding dengan

yang tidak simetrik, yang kemarin sudah kita bahas.

Nah, tentu saja itu, apa namanya, proses ini memungkinkan untuk membutuhkan pivoting,

apabila elemen diagonalnya 0, jadi apabila elemen diagonal A itu 0,

maka kita melakukan pivoting, hanya saja pivotingnya tidak bisa pakai parsial pivoting yang tadi kita bicarakan,

karena kalau kita pakai parsial pivoting, dia akan merusak struktur simetrinya,

sehingga properti simetrinya tidak bisa lagi kita eksploit.

Jadi, pivotingnya pun nanti akan kita lihat adalah pivoting yang khas atau yang spesial

yang kita sebut dengan pivoting diagonal, jadi yang kita cari itu adalah pada elemen sepanjang diagonal.