Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas implementasi algoritma faktorisasi LU dengan pivoting parsial menggunakan Octave/Matlab. Faktorisasi LU pivot melibatkan vektor pivot P untuk merekam pertukaran baris-baris dalam proses faktorisasi. Selain melakukan swap baris, faktorisasi ini juga mempertukarkan matriks L. Proses ini melibatkan pertukaran antara baris ke-K dan ke-P pada matriks L, dengan batasan kolom pertama hingga K-1. Hasilnya adalah matriks A yang berubah menjadi hasil perkalian antara matriks L dan U. Proses ini memperhatikan elemen terbesar pada kolom pertama sebagai acuan pertukaran baris.

Sekarang misalnya kita ingin implementasikan faktorisasi LU dengan pivot.

Ingat bahwa basic algorithmnya akan sama, saya hanya membutuhkan tadi

untuk melakukan swap atau pertukaran baris saja.

Oke sekarang ini saya akan bikin faktorisasi LU,

saya namakan agar tidak terlalu panjang, faktorisasi LU pivot.

Inputnya hanya A, jadi saya tidak akan utak-atik B dalam hal ini,

tapi outputnya saya harus tambah satu, yaitu P, vektor pivot,

yaitu vektor yang memuat atau berisi bagaimana pertukaran baris-baris itu telah terjadi.

Jadi mula-mula baris kita, kita kasih indeks, baris pertama paling atas,

berarti indeksnya satu, baris terakhir namakan baris ke N.

Tapi setelah ditukar-tukar mungkin saja baris ke N naik ke atas,

baris ke tiga menjadi baris ke tujuh, dan seterusnya.

Untuk itu saya perlu menginitialize P, mula-mula adalah 1, 2, sampai N.

Yang dalam hal ini bisa saya tuliskan seperti ini, P sama dengan 1, 2, N,

artinya P itu adalah vektor baris berisi 1, 2, 3, sampai N.

Sama dengan tadi, saya bisa ambil apa yang tadi saya sudah lakukan pada gauss

Ini saya copy karena akan persis sama isinya.

Ini saya copy, sekarang saya pindahkan ke yang disini.

Jadi disini kita melakukan hal yang bersama dengan apa yang lakukan tadi

Tapi ada yang kurang disini bahwa saya harus mempertukarkan juga L.

Jadi L harus saya pertukarkan dalam hal ini.

Jadi sama dengan A, jadi baris ke K dan baris ke P pada L itu juga harus dipertukarkan.

Jadi ini adalah K, V, kemudian saya akan pertukarkan,

tapi yang boleh saya pertukarkan itu hanya dari kolom pertama sampai dengan K-1 saja.

Jadi dari 1 sampai K-1, ini yang boleh saya pertukarkan.

Jadi tidak boleh menukarkan yang di kanan.

Oke, sudah saya sudah dapatkan dan sekarang kita simpan lagi.

Di file yang baru saya namakan faktorisasi LUPivot.

Saya baru ingat di gauss tadi kita mengaugment B.

Sekarang kita tidak punya B, berarti ini hanya sampai N.

Jadi ini hanya sampai N, tidak ada yang ke N plus 1.

Jadi yang tadi pada prosesnya eliminasinya gauss itu sampai ke N plus 1 ini tidak perlu saya lakukan.

Oke, ini sudah semuanya pakai N sampai N tidak ada lagi ke N plus 1.

Kita kelupaan belum melakukan swap pada P.

Jadi P pada kolom atau elemen ke K dan V-nya itu kita harus bertukarkan juga.

Ini sama dengan P sekarang menjadi dari K ke V menjadi V ke K.

Oke, sekarang kelihatan bahwa tadi kita belum menyelesaikan semua elemen yang harus kita lakukan.

Oke, sekarang kita run lagi, sekali lagi sampai di sini kita lihat.

Jadi ini hasilnya bahwa matrix A kita tadi sudah berubah menjadi L kali U.

Perhatikan disini ada 0 elemen L, kenapa?

Karena matrix A kita tadi memang punya 0 di elemen satu-satu.

Jadi di kolom pertama itu ada 0-nya dan dia akan tetap 0 disini.

Karena dia menjadi bukan pembagi tapi yang dibagi.

Nah, perhatikan juga bahwa disini 5 artinya mula-mula elemen terbesar di kolom pertama itu terletak pada baris ke 5.

Benar, jadi 0, 0.83, 0.12, 0.37, 0,87 ini yang paling besar memang di posisi ke 5.

Jadi pertama kali dia ditukar antara baris pertama dengan baris ke 5.