Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas persoalan optimasi nonlinier yang sering dijumpai dalam dunia nyata yang melibatkan kendala atau constraint. Sebagai contoh, dalam desain kaleng tempat makanan, kita harus meminimalkan luas permukaan kaleng agar penggunaan bahan lebih efisien. Dalam optimisasi nonlinier berkendala, fungsi objektif (misalnya luas permukaan) harus diminimalkan dengan memperhatikan fungsi kendala (misalnya volume kaleng). Persoalan ini diarahkan untuk mencari solusi optimum yang meminimumkan fungsi objektif dengan memenuhi kendala yang diberikan. Konsep ini penting dalam analisis numerik untuk menyelesaikan masalah optimisasi dalam kondisi nyata.

Persoalan optimisasi yang sering kita temukan dalam dunia nyata itu pasti subject to atau diikuti dengan adanya kendala-kendala atau constraint yang harus dipenuhi.

Jadi jarang sebetulnya kita menemukan kondisi di mana optimisasinya tanpa dibenturkan dengan kendala sama sekali.

Saya ambil contoh sederhana. Jadi misalkan kita diminta untuk mendesain kaleng tempat makanan atau tempat minuman, ini dikenal dengan canning problem.

Kita diminta untuk mendesain bentuknya silinder seperti ini, kaleng yang memiliki luas permukaan itu minimum, luas permukaannya harus minimum.

Jadi dicari desain dalam hal ini dimensi kaleng agar luas permukaan minimum.

Kita memahami kenapa luas permukaan itu harus diminumkan, karena luas permukaan inilah yang akan menentukan material atau bahan yang diperlukan untuk membentuk atau membuat sebuah kaleng ini.

Karena itu ada harganya, makin sedikit bahan makin menguntungkan, jadi orang mencari itu.

Namun tentu saja ada syarat dalam hal ini bahwa kaleng ini harus memiliki poluma tertentu.

Jadi kaleng harus memiliki poluma tertentu.

Kenapa? Karena kita ingin menjual produk yang ada di dalamnya dengan takaran ataupun isi yang definite atau tertentu, misalnya kita menjual yang 250 cc atau 1 liter atau 500 cc.

Jadi kalau kita lihat soda atau minuman-minuman kaleng itu sudah definite jumlah isinya.

Sekarang bagaimana persoalan ini kalau kita rumuskan sebagai persoalan optimisasi.

Jadi pertama, apa yang akan kita optimumkan dalam hal ini kita minimumkan itu kita sebut fungsi objektif.

Jadi fungsi objektif kita adalah luas permukaan kaleng.

Di sini ada dua tutup dan selimut silindernya.

Jadi luas permukaan kaleng, kita katakan L.

Ini ada dua variable akan menentukan yang pertama adalah jari-jari, yang kedua adalah ketinggian.

Jadi variabelnya ada dua, jari-jari kaleng dan ketinggian kaleng.

Nah kita tahu luas permukaan itu adalah dua kali lingkaran.

Jadi dua VR kuadrat, jadi VR kuadrat itu adalah luas tutup, VR kuadrat satunya adalah luas base atau dasarnya.

Jadi selimut lingkaran kalau kita bentang sebetulnya ini menjadi semacam persegi.

Jadi kalau selimutnya saya buka bentuknya kayak gini, lebarnya H sedangkan panjangnya ini adalah keliling lingkaran yaitu 2 VR.

Itu luas atau fungsi objektif yang perlu kita minimumkan sebagai fungsi dari R dan H.

Jadi ada dua variable, tapi disini ada suatu syarat yang kita sebut nanti constraint.

Bahwa volume yaitu volume suatu silinder dengan jari-jari R dan tinggi H itu adalah VR kuadrat kali H.

Jadi luas ala sekali tinggi itu akan menyatakan volume.

Kita menginginkan volumenya katakanlah suatu nilai tertentu.

Misalnya kita ingin dia bernilai 250 CC misalnya.

Ini bisa saya nyatakan sebagai bahwa VR kuadrat H dikurang 250 harus sama dengan 0.

Fungsi ini kita kenal dengan constraint function G R H sebagai fungsi kendala.

Jadi L R H sebagai objektif, G R H sebagai kendala.

Di mana objektifnya adalah 2 VR kuadrat ditambah 2 VR H dan kendalanya VR kuadrat kali H dikurang 250 harus sama dengan 0.

Ini menjadi membawa kita kepada bentuk standar untuk unconstraint problem.

Jadi kita sekarang definisikan atau kita tuliskan constraint maksud saya.

Jadi optimisasi berkendala, optimisasi kita masih fungsinya non-linear.

Jadi kita sekarang rumuskan atau kita tuliskan persoalan optimisasi non-linear berkendala.

Jadi diberikan fungsi objektif F, ingat kemarin dia dari R N ke R.

Jadi fungsinya itu punya variable banyak sebanyak N atau lebih dari 1 dari ruang vektor tapi nilainya harus bilangan real.

Ini fungsi objektif kita dan fungsi kendala G.

G ini adalah fungsi yang domennya sama dengan F yaitu di R N tapi dia akan diberupa fungsi vektor.

Jadi katakanlah ke ruang R N, artinya apa? Saya punya M buah kendala dari fungsi G tersebut

tanpa bahwa saya akan membatasi atau memberikan sejumlah M persamaan yang akan menjadi constraint untuk F.

Nah, perhatikan bahwa M dalam hal ini harus lebih kecil dari N karena jumlah kendalanya gak mungkin lebih besar daripada atau sama dengan jumlah dari variablenya.

Jadi kalau jumlah kendalanya melebihi itu akan void atau kosong sedangkan kalau persis sama bisa jadi hanya satu titik saja.

Kalau satu titik mau dioptimisasikan seperti apa? Sehingga dicari X yaitu solusi optimum, X star yang meminimumkan.

Jadi kita tetap mengambil standar problem kita adalah minimisasi bukan maksimum, jadi yang meminimumkan F dengan syarat GX itu harus sama dengan 0.

So, secara matematis dapat kita katakan bentuknya adalah minimum, carilah X yang meminimumkan F dengan GX sama dengan 0.

Ini sebagai kendala, dimana 0 dalam hal ini adalah faktor yang panjangnya adalah M.

Jadi akan ada M in general, kita akan memiliki problem seperti ini.

Jadi kalau tadi kita contohkan untuk canning problem, masalah mencari luas permukaan terkecil dari satu kaleng, maka FX-nya jelas punya dua variable yaitu R dan H.

Jadi X-nya adalah dari, jadi untuk contoh tadi, jadi untuk contoh kaleng tadi, F itu dari R2 ke R, kemudian G itu dari R2 kebetulan ke R juga.

Jadi kita hanya punya sebuah fungsi skalar sebagai constraint kita.

Tapi nanti misalnya kalau kita punya dari R4 atau R3, jumlah variablenya lebih dari 2, lebih dari 3, ini constraint-nya bisa lebih dari 1.

Jadi ini karakterisasi dari constraint problem atau persoalan optimisasi non-linear berkendala.