Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas tentang pivoting dalam analisis numerik, khususnya dalam sistem persamaan linear. Pivoting digunakan untuk menghindari pembagian dengan nol dan meningkatkan akurasi solusi. Dalam contoh kasus dengan rasio yang sangat besar, pivoting dapat mencegah ketidakakuratan dalam penyelesaian. Dengan penerapan pivoting, sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan lebih akurat dan efisien.

Sejauh ini kita sudah belajari bagaimana menyelesaikan sebuah sistem bersamaan linier

yang secara umum kita tuliskan berupa AX sama dengan B seperti ini.

Pertama kita transformasikan A menjadi matrik segitiga atas.

Jadi ini yang kita sebut dengan proses gauss eliminasi atau eliminasi gauss.

Dan kita bisa menyelesaikan dengan mudah UX sama dengan B karena U berupa matrik segitiga atas.

Alternatif yang kemarin juga kita sudah tunjukkan bahwa A ternyata bisa kita faktorkan menjadi perkalian dua matrik

yaitu L kali U dimana L segitiga bawah dan U segitiga atas.

Sehingga sistem bersamaan liniernya yang ekivalen dengan soal semula adalah L U kali X sama dengan B

yang bisa kita selesaikan melalui dua tahap kemarin.

Kalau ini kita misalkan Y berarti L Y selesaikan dulu dimana L adalah segitiga bawah

sehingga dengan eliminasi maju kita bisa menemukan Y setelah Y ketemu baru kita selesaikan dapat X yaitu UX sama dengan Y.

Sejauh ini kita asumsikan bahwa proses baik itu eliminasi gauss maupun transformasi

atau faktorisasi L U itu akan berjalan tanpa ada hambatan dan tidak terjadi pembagian dengan nol.

Namun proses ini akan tidak bisa dilakukan kalau misalnya kita punya matrik seperti ini.

Jadi kalau saya punya persoalan seperti ini tekanlah ini contohnya

maka baik algoritma yang kemarin kita sudah bahas yaitu convert A ke U B ke B tilde

Simpli karena rasio ini menjadi tak terhingga dua dibagi nol.

Namun tidak berarti bahwa sistem bersamaan linier ini tidak punya solusi.

Kita lihat bahwa matrik coefficient ini non-singular jadi pasti ada solusi X1 dan X2 yang memenuhi ini.

Apa yang harus kita lakukan adalah kita akan memperkenalkan konsep yang kita sebut dengan pivoting.

Pivoting ini sebetulnya originally dimaksudkan untuk menghindari pembagian dengan nol

tapi nanti di belakang kita akan tunjukkan juga bahwa dengan pivoting kita sekaligus juga dapat meningkatkan akurasi dari penyelesaian.

Jadi hasil solusinya akan lebih akurat apabila kita lakukan pivoting meskipun dalam hal tidak terjadi pembagian dengan nol.

Misalnya bagaimana kalau saya punya disini ada 10 pangkat minus 12 misalnya,

disini 2, disini 1, disini 4, disini X1, X2, X3 misalnya.

excuse me, kalau kita lakukan gaussian elimination ya bisa,

tapi apa yang terjadi adalah rasio yang akan kita pakai nantinya 2 dibagi 10 pangkat minus 12

berarti sekitar 2 kali 10 pangkat minus 12 sangat besar.

Dan ini yang menyebabkan terjadi inaccuracy ataupun ketidakakuratan

kalau kita ingat kemarin bagaimana sistem plotting point itu di komputer akan lebih akurat

apabila kita mengoperasikan bilangan-bilangan yang tidak terlalu besar.

Nah pivoting akan menghandle 2 hal, pertama adalah dia akan menghindari pembagian dengan nol,

yang kedua juga menekan apa yang kita sebut dengan gauss factor atau growth factor

dimana rasio-rasio yang kita hitung kemarin dalam gauss yang nantinya akan menjadi elemen dari L

itu akan kita tekan tidak menjadi bilangan yang sangat besar.