Dr. Eddwi Hesky Hasdeo

Video ini membahas periodisitas dan analisis Fourier dari fungsi densitas elektron pada difraksi sinar X pada kristal zat padat. Kristal zat padat memiliki perulangan yang mempengaruhi fungsi kerapatan elektron. Konsekuensi dari periodisitas ini adalah kemampuan untuk menebak fungsi periodik sebesar A. Analisis Fourier digunakan untuk menuliskan fungsi periodik dengan menggeser X sejauh A. Dalam kasus 3 dimensi, fungsi densitas dituliskan sebagai faktor G eksponensial dari koordinat X, Y, dan Z. Analisis Fourier berlaku untuk semua potensial atau fungsi periodik.

Pada pertemuan sebelumnya, kita melihat bahwa amplitude dari sinar X itu bergantung pada bentuk dari densitas elektronnya sebagai fungsi posisi.

Nah, kita perlu melihat atau perlu menebak dengan benar bagaimana bentuk NR ini, karena kita tidak tahu.

Sekarang kita kembali kepada kristal zat padat ya.

Kristal zat padat memiliki perulangan. Misalkan ambil contoh satu dimensi saja dengan cara A, perulangannya ini.

Kalau kita menggambarkan fungsi kerapatan dari elektron itu, katakanlah elektron itu akan rapat di sekitar sini, dan kemudian dia berulang lagi di sini,

dia berulang lagi di sini, dan berulang lagi di sini.

Apa kita bisa tuliskan bahwa fungsi N sebagai fungsi R?

Katakanlah R-nya itu ada di sini, R itu adalah posisi ini.

Kalau kita geser sejauh A, ini adalah R' adalah R ditambah A, maka kita akan mendapatkan densitas yang sama.

Atau secara umum kita bisa menuliskan vektor T gitu ya, atau vektor yang sebelumnya kita sebut sebagai vektor kisi translasi,

itu kalau dia tiga dimensi, maka kita tuliskan sebagai U1 A1 ditambah U2 A2, dan U3 A3.

Dia adalah, U1 U2 U3 adalah bilangan bulat gitu ya.

Oke, kemudian apa konsekuensi dari periodisitas di R ini?

Karena kita tahu bahwa fungsi ini periodik, maka kita harus menebak fungsi apakah yang juga periodik sebasar A gitu ya.

Untuk itu kita bisa menebak di bawah N, R gitu ya.

Kita bisa tuliskan dia sebagai suatu jumlahan, atau kita sebut sebagai ekspansi gitu ya,

dari fungsi sinus, ini kita nggak tahu ya, sinus sesuatu ditambah cosinus sesuatu gitu.

Dikalikan amplitudenya, misalkan ini S, S N, dan ini C N.

Ini kita ekspansikan sebesar N, tapi di dalamnya ini ada apa?

Pasti di dalam sini adalah sesuatu yang memiliki periodisitas sebesar A.

Misalkan kalau kita punya gelombang sinus ya,

maka kalau ini jaraknya dari 0 di sini, kemudian di sini ada A gitu ya.

Jadi gelombang sinus, misalkan kita mulai dari 0 di sini, kemudian dia naik, turun lagi, dan kembali lagi sebesar ini.

Nah, fungsi ini itu kita tulis sebagai apa?

Kalau ini adalah X, dan dia memiliki periodisitas sebesar A.

Jadi kalau misalkan kita tulis sin gitu ya, di X sama dengan A, fasenya harus 2P gitu ya,

jadi harus sama dengan 2P di dalam sinus ini gitu ya.

Untuk itu kita bisa menuliskan dia sebagai 2P dikalikan X per A gitu ya.

Seperti itu. Jadi fungsi ini adalah sin 2P dikalikan X per A.

Tetapi apakah ini satu-satunya fungsi dengan periodisitas A?

Kalau kita tambahkan angka N di sini, angka bilangan bulat, itu bisa juga.

Misalkan, ini kalau N sama dengan 1 gitu ya.

Kalau N sama dengan 2, kita akan mendapatkan di A, kemudian di setengah A dia sudah satu fase, jadi gini.

Nah, dia dua-dua kali mengalami puncak dan lembah.

Itu kalau N sama dengan 2, dan seterusnya.

Nah, di dalam sini kita bisa tuliskan dia sebagai 2P X per A dikalikan N, dan cosine juga sama ya, 2P X N per A.

Kalau teman-teman tidak percaya gitu ya, kita bisa secara matematika ya, membuktikan dengan menambahkan...

Misalkan kita tulis berapakah X plus A gitu ya.

Nah, kita harus buktikan bahwa nilainya harus sama dengan N X ini.

Sorry, ini satu dimensi ya, maka kita buat sebagai X saja.

Nah, untuk itu kita bisa tuliskan S N sin 2P X plus A gitu ya.

Dikalikan N dibagi A ditambah C N cos 2P X plus A dibagi A.

Atau di dalam kurung ini bisa kita pecah menjadi 2P X N per A gitu ya, ditambah 2P dari N gitu ya.

Nah, di sini fungsi sinus dengan 2P X N per A ini kita bisa seteranakan, anggap saja sinusnya itu adalah suatu fungsi tertentu, katakanlah sinus Y gitu ya.

Sudut itu didefinisikan misalkan dalam koordinat kertesian misalkan ya, ini adalah sudut Y misalkan.

Nah, sudut Y ditambah 2P N, 2P N itu kalau putar satu kali itu adalah 2P.

Nah, N ini bilangan bulat maka dia berputar berkali-kali gitu ya, dan ini tidak lain adalah sama dengan sin Y gitu ya.

Maka 2P N ini hanya menunjukkan berapa kali dia berputar-putar dalam sebanyak 360 derajat dan dia tidak mengubah fase sama sekali.

Oleh sebab itu dapat kita simpulkan bahwa sin 2P X N per A itu sama dengan sin 2P X N per A ditambah 2P N.

Dan fungsi ini tidak lain adalah sama dengan fungsi N X gitu.

Artinya fungsi ini memang fungsi periodik dengan menggeser-geser X sejauh A tidak akan mengubah nilainya.

Kemudian kalau kita berhadapan dengan kasus 3 dimensi gitu ya, secara 3 dimensi.

Oh, sebelum itu untuk mempermudah dulu ya penulisan kita.

Seperti yang tadi di pub sebelumnya kita tuliskan bahwa fungsi yang berkaitan dengan sinus dan cosinus ini selalu kita bisa tuliskan sebagai fungsi eksponen.

Jadi kita bisa menggunakan aturan Euler gitu ya.

E pangkat i X itu adalah cos X ditambah i sin X gitu ya.

Kita bisa sederhanakan ekspresi ini menjadi jumlahan dari...

Sorry ini N-nya agak membingungkan ya mungkin kita ganti aja menjadi P gitu aja ya.

Sebaiknya tidak ada N di kiri juga. Jadi ini adalah amplitude katanya seperti itu ya dari suatu P.

E pangkat atau eksponensial dari i 2P XP dibagi A gitu ya.

Oke, nah kita sudah membuatnya menjadi kompak dan kalau kita berhadapan dengan fungsi densitas yang 3 dimensi gitu ya, maka kita bisa menuliskan soalnya ini N X ya.

Kita bisa menuliskan menjadi fungsi R gitu ya.

Kita tulis aja sebagai faktor ya, ini G, ini N fungsi G eksponensial dari...

Nah sekarang di dalam sini faktor yang ini kita tidak tahu apa kita anggap aja kita tuliskan sebagai faktor G, kita dotkan dengan R gitu ya.

Sekarang tidak hanya X tapi X, Y, dan Z gitu. Itu adalah cara untuk menuliskan suatu densitas yang merupakan bersifat periodik gitu ya.

Dan analisis ini kita namakan sebagai analisis Fourier. Itu berlaku untuk semua potensial-potensial atau semua fungsi-fungsi yang periodik gitu.