Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas aplikasi Teorema Apit dalam menghitung limit trigonometri. Penjelasan dimulai dengan mengingat lingkaran berjari-jari satu dan hubungan antara sinus dan kosinus terhadap sudut dalam radian. Diperlihatkan bahwa limit dari sinus X menuju 0 saat X mendekati 0, sedangkan limit dari kosinus X adalah 1. Melalui penerapan prinsip apit, diperoleh hasil bahwa limit X menuju 0 dari sinus X per X adalah 1.

Seperti saya katakan tadi bahwa teorema apit ini sangat berguna untuk mengerjakan

Sebelumnya saya mau ajak dulu kita sama-sama mengingat

bahwa ini adalah lingkaran yang berjari-jari satu

dan sudut X ini menyatakan panjang busur di hadapannya yaitu X di sini.

Jadi panjang busur X ini itu tidak lain adalah besarnya sudut X di sini

sudut dalam radian tentunya kita tahu itu.

Lalu garis yang merah ini adalah sinus X sedangkan yang kuning adalah kos X.

Dari sini langsung dapat kita lihat bahwa kalau X mengecil jadi ini akan turun

maka ini akan turun sehingga yang merah ini penggalannya akan mengecil

dengan demikian kita punya di sini bahwa limit X menuju 0

dari sinus X itu akan 0 menuju ke 0 juga seperti itu

karena besarnya yang merah ini akan semakin lama semakin kecil di sini

Demikian juga kalau X nya negatif ya jadi ada di bawah

limitnya pun akan menuju ke 0 seperti itu.

Sedangkan dari yang kuning kita bisa melihat bahwa

kalau X nya mengecil maka yang kuning ini akan membesar mendekati 1.

Jadi kita tahu di sini bahwa limit X menuju 0 dari kosinus X adalah 1.

Nah yang menarik di sini adalah kita melihat bahwa kita memiliki yang biru ini

mungkin kita mulai dari yang putih dulu lah ya.

Yang putih ini itu besarnya adalah X dan untuk sementara kita buat X lebih besar dari 0 ya.

Jadi yang kanan ini adalah X dan yang putih ini itu ruas garis sorry

bagian dari lingkaran ini itu lebih besar dari bagian yang merah ini

Jadi kita tahu hubungannya adalah sinus X itu lebih kecil sama dengan X ya

karena ini bagian ini jelas lebih panjang daripada yang ini.

Jadi akan lebih kecil dari sana dan kemudian kita juga melihat ada bagian yang biru ini.

Bagian biru ini adalah juring lingkaran tali busur sorry bukan tali busur panjang busur lingkaran

yang jari-jarinya sekarang adalah cos X di hadapan sudut sebesar X.

Nah kita tahu dari matematika SMA juga bahwa kalau gitu panjang busurnya

harusnya adalah X dikali dengan cosinus X dan ini lagi-lagi lebih kecil dari sinus X seperti itu.

Nah karena X-nya positif kita dapat bagi semuanya dengan X

sehingga saya dapatkan cosinus X lebih kecil sama dengan sinus X dibagi X

Nah menggunakan prinsip apit tadi yang kita punya disini

kita tahu bahwa limit cos X untuk X menuju 0 adalah 1

sedang limit 1 adalah 1 maka disini kita dapatkan dari teorema apit

kita dapatkan limit X menuju 0 dari sinus X per X adalah 1.