Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas contoh eksplisit limit jumlah Riemann dengan menggunakan partisi lebar konstan untuk menghitung luasan segitiga. Penggunaan partisi dengan lebar konstan memungkinkan perhitungan titik-titik partisi dengan mudah. Dengan menggunakan jumlah Riemann kiri, kita dapat menghitung jumlahan dari k-1 dikali dengan 4 per n kuadrat. Hal ini memungkinkan kita untuk menyederhanakan perhitungan dan menghasilkan bentuk yang lebih sederhana untuk dihitung.

Kita akan lihat sekarang bagaimana caranya kita menghitung jumlahan-jumlahan tersebut untuk sebuah contoh yang eksplisit.

Dalam contoh ini saya pilih Y sama dengan X sebagai fungsi yang akan kita integralkan.

Maka luasan yang hendak kita hitung adalah luasan dari segitiga berikut.

Dan tentunya kita tahu bahwa luasan tersebut tidak lain adalah setengah dikali alas 2 dikali tinggi 2.

Jadi kita sedang mencari luas dan kita berharap bahwa perhitungan kita dengan menggunakan jumlah riman kiri

atau jumlah riman kanan yang tadi juga akan memberikan pada kita nilai yang sama dengan luasan ini.

Nah untuk perhitungan ini secara eksplisit kita akan menggunakan partisi yang khusus.

Yaitu apa? Partisi yang lebar sub intervalnya itu selalu sama pada dimanapun.

Itu yang disebut dengan partisi dengan lebar konstan.

Nah contohnya adalah misalkan disini total interval besar yang seharusnya kita bagi adalah 0 sampai 2.

Dan kita akan bagi menjadi 4 bagian kecil.

Berarti kita katakan bahwa n disini sama dengan 4.

Dan kita bisa hitung disini bahwa delta x atau lebar partisinya adalah 2 dikurangi 0 dibagi dengan 4.

Maka titik-titik yang kita dapatkan itu adalah x0 yang sama dengan 0 titik ujung kiri.

Nah dapat kita lihat disini bahwa kita dapat mengatakan ini tidak lain adalah 0 ditambah 1 dikali dengan setengah.

Dan ini 1 tidak lain adalah 0 titik ujung ini ditambah 2 dikali setengah.

Dan ini tidak lain adalah 0 ditambah 3 dikali setengah.

Dan titik ini adalah 0 ditambah 4 dikali dengan setengah.

Jadi titik-titik pada partisi ini juga dapat kita hitung dengan mudah.

Untuk n yang umum berapapun kita perumum bentuk ini kita dapat tulis delta x-nya adalah 2 dikurangi 0 dibagi n atau 2 per n.

Dan xn di dalam hal ini xk mengikuti pola ini tidak lain adalah 0 ditambah dengan k dikali dengan delta x yaitu sama dengan 2 k per n.

Jadi kalau kita pakai misalkan jumlah riman kiri disitu kita ingat bahwa nilainya adalah yang harus kita hitung adalah fxk-1 dikali dengan delta x lebar partisinya.

Kemudian kita jumlahkan seluruhnya dari 1 sampai n.

Dan ini adalah jumlahan dari 1 sampai n fxk itu adalah fxnya karena fxnya adalah x maka f dari xk-1 itu adalah xk-1 sendiri.

Jadi pada setiap titik disini kita punya xk-1 yang kalau langsung saya ganti dengan menggunakan ini tidak lain adalah 2 dikali dengan k-1 per n dikali dengan delta xnya yaitu 2 per n.

Jadi kita seperti menghitung jumlahan seperti ini dan ini dapat saya sederhanakan lagi bahwa dia tidak lain adalah jumlahan dari 1 sampai n dari k-1 dikali dengan 4 per n kuadrat.

Nah perhatikan disini bahwa 4 n kuadrat itu sama sekali tidak ada kaitannya dengan k.

Oleh karena itu saya dapat keluarkan dari dalam sigma saya akan punya bentuk seperti ini.

Nah pertanyaannya sekarang adalah tinggal bagaimana caranya kita menghitung jumlahan seperti ini.