Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas definisi limit dalam kalkulus. Limit X menuju A dari Fx adalah L menggambarkan pendekatan nilai fungsi saat X mendekati A. Konsep jarak antara dua bilangan dijelaskan dengan harga mutlak. Definisi limit menunjukkan bahwa untuk setiap epsilon positif, akan selalu ada delta positif sehingga nilai Fx mendekati L saat jarak X-A kurang dari delta. Simbol matematika digunakan untuk menyederhanakan definisi limit. Menyakinkan bahwa limit X menuju A dari Fx adalah L melibatkan memastikan kalimat definisi tersebut benar.

Masih di fungsi yang sama, grafik yang sama tadi, Y sama dengan Fx.

Kita katakan bahwa kita mau memberikan pengertian secara matematis

apa yang dimaksud dengan limit X menuju A dari Fx adalah L.

Perhatikan kata kuncinya, kata kuncinya tadi adalah X mendekati A.

Waktu X mendekati A, perhatikan juga bahwa ada dua cara untuk mendekati A.

Dari kiri maupun dari kanan, seperti itu.

Dan kita katakan sebenarnya limitnya adalah L ketika waktu X mendekati A,

Pertanyaannya sekarang adalah bagaimana cara kita mengukur jarak antara dua buah bilangan.

Sebab itulah yang dimaksud dengan mendekat.

Contohnya nih kalau saya bilang apakah saya mendekat pada Anda,

maka jarak saya dengan Anda seharusnya mengecil.

Sedang saya menjauh berarti jarak saya dengan Anda membesar.

Jadi untuk bisa mengukur jarak dua buah bilangan kita harus menghitung sesuatu.

Yang bisa kita hitung adalah harga mutlak X dikurangi A.

Perhatikan harga mutlak X kurang A ini bicara jarak.

Anda lihat, rasakan ada yang inkonsisten di sana?

Bahwa ketika saya bertanya jarak antara dua dan tiga,

Anda memilih tiga, angka kedua, dikurangi dengan dua.

Tapi waktu saya tanya lima, jarak antara lima dan tiga,

Yaitu bilangan yang pertama justru yang ada di depan,

Jadi harus ada bahwa Anda mengerti bahwa jarak itu haruslah selalu positif.

Jadi itu sebabnya kita beri tanda harga mutlak di sini.

Supaya kita bisa yakin bahwa selisih ini,

Dan kemudian saya punya juga di sini bahwa nilai FX-nya harus mendekati L.

Berarti nilai FX dikurangi L juga jaraknya diukur dengan cara seperti ini.

Bahwa untuk setiap epsilon positif, selalu ada delta yang positif.

Sehingga jika jarak X kurangi A itu lebih kecil dari delta,

maka nilai FX kurangi L akan lebih kecil dari epsilon.

Dan ingat, saya tidak pernah peduli dengan apa yang terjadi di A.

Itu sebabnya saya beri tanda lebih besar dari nol ini.

Dengan demikian X tidak harus sama dengan A.

Bahwa berapapun kecilnya jarak F dengan L,

berapapun kecilnya epsilon, makanya ada untuk setiap epsilon di sini,

saya selalu bisa memilih delta sehingga ini akan berakibat nilai fungsinya seperti ini.

Ingat, ini adalah permainan epsilon delta yang sebelumnya kita lihat.

Dengan demikian, kita katakan bahwa limit FX menuju L jika kalimat ini berlaku.

Dan anda lihat bahwa kalimat ini sangat-sangat menakutkan, panjang sekali nulisnya.

Nah, matematika tidak terlalu senang untuk menuliskan sepanjang ini

sehingga dia memperkenalkan sebuah simbol-simbol

untuk supaya bisa menulis ini secara lebih kompak.

Untuk setiap epsilon yang positif, selalu ada delta yang positif

sehingga jika nol lebih kecil dari X kurang A,

lebih kecil dari delta, maka nilai FX dikurangi L kecil epsilon.

Dan inilah definisi dari limit FX untuk X menuju A adalah L.

Jadi untuk memeriksa apakah limit dari X menuju A dari FX adalah L,

itu adalah dengan menunjukkan bahwa kalimat ini benar.