Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas tentang deret teleskop dalam kalkulus, yang dikenal dengan nama Collapsing Sum. Konsep ini mirip dengan teleskop yang dapat ditarik keluar sehingga panjang. Dalam deret ini, suku-suku yang sama akan saling menghilangkan, menyisakan a1, a2, a3, dan seterusnya. Dengan menggunakan formula binomial, deret k pangkat 3 dikurangi k-1 pangkat 3 dapat disederhanakan menjadi n pangkat 3. Selanjutnya, dengan menggunakan Collapsing Sum, jumlahan dari k pangkat 3 dikurangi k-1 pangkat 3 dapat disederhanakan menjadi n per 6 dikali dengan 2n plus 1 dikali n plus 1.

Sebelum kita melanjutkan untuk menghitung jumlah riman untuk fungsi-fungsi yang lebih kompleks

X pangkat 2, X pangkat 3, dan selanjutnya

saya ingin memperkenalkan sebuah bentuk khusus dari Sigma

yang dikenal dengan nama Collapsing Sum atau Telescopic Series.

Di jaman dahulu kalau para pelaut pergi melaut dengan kapal layar yang besar

mereka biasanya membawa sebuah alat untuk melihat musuh yang datang dari jauh

Dan teleskop itu biasanya mempunyai ukuran yang cukup ringkas, cukup kecil seperti itu

tapi dapat ditarik keluar sehingga panjang.

Atau dengan kata lain kita bisa mempunyai bentuk yang panjang yang dapat diringkas

tinggal ujung depan sama ujung belakangnya doang.

Nah, itu yang terjadi pada Telescopic Series seperti ini.

Kita mempunyai bentuk yang khusus yaitu Sigma dari 1 sampai n

dari ak dikurangi dengan ak-1 jadi bentuknya sama

tetapi untuk nomor indeks k dikurangi dengan nomor indeks k-1.

Kalau k sama dengan 1 kita akan dapatkan dia adalah a1 dan a0

kemudian untuk k sama dengan 2 dia adalah a2 dikurangi dengan a1

dan untuk k sama dengan 3 saya punya adalah a3 dikurangi a2 dan seterusnya.

Nah perhatikan disini bahwa kita selalu mendapatkan a1

itu akan saling menghilangkan dengan minus a1 yang muncul pada suku kedua

dan a2 akan menghilangkan dengan minus a2 yang muncul pada suku ketiga.

Jadi saya dapat abaikan ini, hilang ini dan saya akan juga punya ini hilang.

dan a3 nanti akan saling menghilangkan juga dengan yang disini

dan demikian juga an-1 akan saling menghilangkan dengan bagian yang ini.

Jadi bentuk Collapsing Sum ini akan dapat dituliskan

menjadi an dikurangi dengan a0 seperti itu.

untuk apa kita membahas Collapsing Sum ini

saya mau ingatkan dulu bahwa kita sudah menghitung tadi

itu dapat dihitung dengan n dikali dengan n-1 dibagi 2.

Nah kalau sekarang saya mau ganti ujung atasnya

maka saya cukup mengganti n disini dengan n plus 1.

Nnya saya ganti dengan n plus 1 maka ini akan menjadi n

ini saya ganti dengan n plus 1 akan jadi n plus 1

dan ini kalau saya ganti dengan n akan jadi n

itu kalau saya punya jumlahan dari 1 sampai n.

Sekarang saya akan lihat bagaimana jumlahan

dari k pangkat 3 dikurangi dengan k-1 pangkat 3.

Nah dari Collapsing Sum kita tadi kita tahu bahwa jumlahan ini

jadi ini sesuai dengan bentuk Collapsing Sum ini

jadi harusnya adalah suku yang terakhir disini

yaitu n, n pangkat 3 dikurangi dengan suku yang pertama disini

suku yang pertama kalau k sama dengan 1, 0.

Jadi ini hasilnya harus sama dengan n pangkat 3.

Nah sekarang kita gunakan formula binomial

saya punya disini k pangkat 3 dikurangi dengan

ini kalau saya buka kurungnya saya punya k pangkat 3

dan k pangkat 3 dengan k pangkat 3 akan saling menghilangkan

sehingga saya punya disini jumlahan ini tidak lain adalah

k pangkat 3 k pangkat 2 ditambah dengan 3k

dikurangi dengan ini kurang ditambah dengan 1

dan sigma nya dapat saya masukkan sehingga bentuk ini tidak lain adalah

3 dikali dengan sigma dari 1 sampai n k kuadrat

minus 3 dikali sigma dari 1 sampai n k ditambah dengan sigma dari 1 sampai n 1

yang paling sederhana tentu adalah menghitung ini

ini dapat dihitung dengan cara menjumlahkan 1 sebanyak n kali

dan ini saya sudah tahu bentuknya adalah ini

jadi bejumlahan ini dapat saya sederhanakan kembali menjadi

disini saya dapat tulis misalkan sama dengan 3 dikali dengan sigma dari 1 sampai n k kuadrat

dikurangi dengan 3n dikali n plus 1 dibagi 2 ditambah dengan n

untuk saya dapatkan kalau saya pindahkan kesini saya punya disini n pangkat 3

kemudian dikurangi dengan 3 per 2 dikali dengan n dikali dengan n plus 1

kemudian disini saya akan punya oh ini jadi tandanya plus ya

nah saya samakan penyebut supaya saya bisa bekerja disini

jadi saya samakan dengan ini saya munculkan 2 disini

dan disini juga harus 2 kemudian dibagi dengan 2

kalau saya sederhanakan ini ini akan jadi apa

disini n nya sudah saya tarik keluar maka saya punya sisanya adalah 3n plus 3n

dan ini 3 kali 1, 3 dikurangi 2 jadi plus 1 seperti itu

dan bentuk ini dapat saya sederhanakan lagi

saya punya n per 2 dikali dengan 2n plus 1 dikali dengan n plus 1

ini harus sama dengan jumlahan ini maaf ini harus dihapus

jumlahan ini jadi sama dengan sigma dari 1 sampai n k kuadrat

ada 3 disini jadi saya akan punya disini per 6

jadi saya bisa hitung dengan menggunakan collapsing sum ini

bahwa sigma dari 1 sampai n dari k kuadrat adalah bentuk ini

dan saya catat disini berarti saya punya sigma dari 1 sampai n dari k kuadrat

adalah n per 6 dikali dengan 2n plus 1 dikali dengan n plus 1