Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas pengenalan fungsi trigonometri hiperbolik yang didasarkan pada fungsi eksponensial. Fungsi Sx dan Cx didefinisikan sebagai rata-rata dan jumlah dari eksponensial X dan minus X. Fungsi ini memiliki sifat mirip sin X dan cos X, dengan turunan yang menghasilkan fungsi awal. Selain itu, hubungan antara Sx dan Cx menggambarkan hiperbola, berbeda dengan fungsi trigonometri biasa yang menggambarkan elips. Sinus dan kosinus hiperbolik didefinisikan menggunakan eksponensial, membentuk keluarga fungsi trigonometri hiperbolik.

Baik, menggunakan fungsi eksponensial dari X kita akan mendefinisikan dua buah fungsi baru

fungsi ini saya namakan, saya definisikan dengan cara menghitung rata-rata antara e pangkat X

dan e pangkat minus X kemudian dibagi dua, selisih maaf bukan rata-rata

dan saya juga mempunyai fungsi Cx yang saya definisikan sebagai e pangkat X

nah cukup menarik karena fungsi ini dapat saya hitung sebagai turunannya

kalau saya hitung turunannya saya dapatkan di sini e pangkat X

kemudian minus turunan dari e pangkat min X adalah e pangkat min X kali min 1 jadi plus

dan kemudian C aksen X di sini adalah e pangkat X

kemudian kalau kita hitung turunannya minus e pangkat min X dibagi dua jadi sama dengan Sx

jadi kita mempunyai sebuah fungsi yang perilakunya kurang lebih mirip seperti fungsi sin X dan cos X

yaitu kalau saya hitung turunannya dia akan jadi seperti ini

dan kalau saya hitung turunannya dia akan jadi seperti ini

dan kalau tentu saja kalau saya hitung Cx lagi turunannya akan kembali lagi ke fungsi yang awal

dan lebih jauh lagi saya dapat menghitung sekarang kalau saya hitung S kuadrat X

dia adalah e pangkat 2X kemudian ditambah dengan e pangkat minus 2X

kemudian dikurangi dengan 2 dibagi dengan 4 itu adalah S kuadrat X

dan C kuadrat X itu adalah e pangkat 2X kemudian ditambah dengan e pangkat minus 2X

nah sekarang di sini jadi plus 2 dibagi dengan 4

dan dalam hal ini kalau kita lihat kalau kita menghitung C kuadrat X

kemudian dikurangi dengan S X kuadrat maka saya dapatkan hubungan hasilnya sama dengan satu

jadi sangat mirip dengan fungsi trigonometri dan fungsi sinus dan fungsi cosinus yang kita sudah kenal

di fungsi trigonometri namun perbedaannya adalah apa kalau di dalam fungsi trigonometri yang biasa

kita punya di sini cos kuadrat X ditambah dengan sin kuadrat X hasilnya harus satu

dan kemudian kita punya perbedaan tanda di sini bahwa kalau ada salah satu fungsinya yang diturunkan

Nah apa yang menarik dari sini satu hal yang sangat menarik di sini kita lihat bahwa

Selanjutnya kita akan memberi nama fungsi S X ini sebagai sinus hiperbolik X

dari mana muncul nama hiperbolik karena kita lihat bahwa hubungan yang harus dipenuhi oleh C X dan S X ini

adalah seperti kaitannya dengan persamaan X kuadrat dikurangi Y kuadrat sama dengan satu

dan ini merupakan persamaan dari sebuah hiperbola.

Sedangkan kalau kita punya cosinus X dan sinus X hubungan yang harus dipenuhinya adalah

X kuadrat ditambah Y kuadrat sama dengan satu sesuatu yang eliptik.

Jadi di sini kita kenali bahwa cosinus dan sinus dalam fungsi trigonometri yang biasa

itu dikenal dengan fungsi eliptik, trigonometri yang eliptik sedangkan fungsi C X yang didefinisikan dengan cara seperti ini

itu adalah fungsi trigonometri yang hiperbolik karena kaitannya hiperbolik.

Jadi sinus H X di sini didefinisikan sebagai E pangkat X dikurangi dengan E pangkat minus X dibagi dengan 2

kemudian saya punya cosinus hiperbolik dari X itu adalah E pangkat X ditambah E pangkat minus X dibagi 2

dan dengan cara yang persis sama dengan trigonometri biasa saya akan bisa mendefinisikan

tangan hiperbolik dari X sebagai sinus hiperbolik E pangkat X minus E pangkat minus X dibagi dengan cosinus hiperbolik E pangkat minus X

dan kotangan, sekan, kosekan hiperbolik semuanya dapat didefinisikan dengan cara yang standar yang sama dengan ini.