Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konsep laju terkait dalam konteks turunan pada kalkulus. Dengan contoh tabung yang diisi air, kita dapat menghitung kecepatan naiknya permukaan air berdasarkan kecepatan masuk air. Konsep ini dikenal sebagai related rate atau laju yang terkait, di mana hubungan antara dua besaran yang berbeda harus ditemukan. Selain itu, video juga menjelaskan konsep terkait kecepatan turunnya ujung tangga yang menempel pada dinding, yang juga merupakan contoh dari laju terkait dalam permasalahan matematika.

Misalkan kita punya sebuah tabung, tabung ini bisa berupa sebuah drum atau sebuah silinder yang sangat besar.

Dan tabung itu mempunyai jari-jari sebesar R, ya tabung itu seperti itu.

Dan kemudian tabung ini akan diisi air dari atas dan air ini mempunyai debit atau kecepatan masuk berupa Q, misalkan seperti itu.

Ini diketahui, jadi kira-kira Q nya itu kecepatannya Q meter kubik per detik,

berarti kecepatan masuknya larutan di dalam situ, di dalam air.

Nah pertanyaannya sekarang adalah kalau kita masukkan air dengan kecepatan tertentu,

dengan kecepatan Q meter pangkat tiga per detik, berapa kecepatan naiknya permukaan air di sini?

Kita tahu di sini bahwa volume air di dalam tabung adalah PR kuadrat dikali dengan Y, panjangnya Y di sini.

Berapa perubahan volumenya? Perubahan volumenya adalah dv dt sama dengan PR kuadrat dy dt.

Jadi apa ini dy dt? Dy dt adalah kecepatan naiknya air pada permukaan.

Siapa dv dt? Perubahan volume. Perubahan volumenya itu kan didapat dari sini.

Jadi kita tahu bahwa air yang masuk itu kan Q meter pangkat tiga per detik, berarti itu kurang lebih adalah Q.

Jadi dari sini kita dapat menghitung bahwa dy dt itu adalah Q dibagi dengan PR kuadrat.

Nah ini adalah konsep yang dikenal dengan nama related rate atau laju yang terkait.

Dimana laju yang diketahui adalah laju perubahan volume yaitu masuknya air dari sini.

Dan yang harus kita hitung adalah laju kenaikan permukaan air di sini dan itu dikaitkan dengan sebuah hubungan.

Kata kuncinya adalah mencari hubungan yang mengaitkan dua buah besaran yang berbeda.

Bentuk lain lagi barangkali bisa kita lihat misalkan kita punya sebuah dinding seperti ini.

Dan pada dinding ini diletakkan sebuah tangga seperti itu.

Dan kita pastikan tangga ini ujungnya selalu menempel pada dinding.

Lalu kemudian kalau misalkan titik ini saya tarik ke sana dengan kecepatan dx dt.

Pertanyaannya adalah berapa turun kecepatan turunnya ujung tangga ini ke sana.

Panjang tangganya kita fix kan sama dengan L.

Yang harus kita ingat di sini misalkan di sini adalah Y tinggi Y ini adalah panjang ini.

Nolnya di sini ini Xnya di sana kemudian ini Ynya seperti itu.

Nah kalau memang seperti ini Pitagoras bilang bahwa X kuadrat ditambah dengan Y kuadrat harus sama dengan L kuadrat.

Dan dari sini kita dapat menghitung bahwa 2X dx dt plus 2Y dy dt adalah nol.

Karena turunan dari konstanta adalah nol.

Dari sini kita dapatkan kaitan antara kecepatan di X dan kecepatan di T.

Coba perhatikan di sini dari sini kita dapatkan bahwa dy dt ini harusnya sama dengan kita pindah ke sini.

Jadi kita punya di sini kurang lebih adalah X per Y dikali dengan dx dt.

Kalau dx dt itu positif jadi Xnya bertambah kalau dx dtnya positif kan artinya Xnya bertambah.

Seperti itu Xnya bertambah maka Y akan berkurang.

Betul ya kalau Xnya ditarik ke sana dia akan turun ke sana seperti itu berkurang.

Dengan demikian diketahui kecepatan di sini kita akan dapatkan kecepatan turunnya anak tangga di Y.

Dan ini juga masalah yang sama dengan laju terkait.