Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini menjelaskan tentang lanjutan contoh eksplisit limit jumlah Riemann dalam integral pada mata kuliah Kalkulus 1. Konsep sigma dari 1 sampai n dari k min 1 dibahas secara detail, di mana setiap bagian selalu memiliki jumlah tetap yaitu n. Dengan perhitungan yang tepat, diperoleh bahwa jumlahan di atas dapat disederhanakan menjadi 2 dikali dengan n dikali n min 1 dibagi n kuadrat. Dengan mengambil limit saat n menuju tak hingga, didapatkan hasil akhir luasan yang sama dengan 2.

Baik jumlahan yang hendak kita hitung adalah 4 per n dikali dengan sigma dari 1 sampai n k min 1.

4 per n kuadrat itu dapat kita abaikan untuk sementara sebab nanti kita kalau sudah bisa menghitung berapa sigma ini

dapat kita kalikan dengan 4 n kuadrat maka ini ya selesai.

Nah sekarang kita pelajari apa yang bentuk sigma dari 1 sampai n dari k min 1 ini.

Untuk k sama dengan 1 dia adalah 0 kemudian untuk k sama dengan 2 dia adalah 1 k min 1.

Kemudian untuk k sama dengan 3 dia adalah 2 dan seterusnya maka bagian terakhirnya adalah n kurang 1.

Dan kalau ini saya tuliskan sebagai S maka S ini dapat saya tulis ulang yang sama dengan cara berkebalikan

tapi yang pertama saya abaikan dulu nolnya sebab nol disini kan tidak berpengaruh pada perhitungan kita.

Jadi saya abaikan nolnya maka saya tinggal membalik semuanya dan mengulang ceritanya.

Dengan demikian saya punya disini n kurang 1 maka suku sebelumnya adalah n kurang 2 dan seterusnya.

Saya jumlahkan terus-terus sampai 1 dan kalau saya jumlahkan ini maka saya lihat bahwa setiap bagian ini jumlahnya selalu tetap yaitu n.

Jadi saya punya jumlahnya selalu n dan tentunya dari 1 sampai n min 1 saya punya n buah suku.

Dengan demikian saya punya ini sama dengan n min 1 dan ini adalah 2 S sehingga saya dapatkan disini bahwa S

haruslah sama dengan n dikali n kurang 1 per 2.

Jadi jumlahan di atas dapat saya tulis sebagai 4 dikali dengan n kuadrat dikali dengan n dikali n min 1 bagi 2.

Dan ini dapat kita cancel seperti ini dan ini tidak lain adalah 2 dikali dengan n dikali n min 1 dibagi n kuadrat, n nya cancel seperti ini.

Nah apa yang terjadi sekarang kalau partisinya saya perhalus, saya perhalus disini artinya titik yang saya gunakan lebih banyak lagi.

Itu berarti saya mengambil lebih banyak titik lagi dengan demikian n nya akan membesar dan itu dinotasikan dengan limit n menuju tahingga.

Disini saya dapatkan limit n menuju tahingga dan anda lihat bahwa limit n menuju tahingga dari n min 1 per n itu adalah 1.

Jadi limit ini hasilnya adalah 2 dengan demikian luasan kita adalah 2.