Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas limit trigonometri dengan contoh perhitungan limit x menuju 0 dari 1 kurang cos x dibagi x. Melalui manipulasi bentuk, diperoleh hasil sin kuadrat x dibagi x dikali sin x, yang kemudian disimpulkan limitnya adalah 1. Penjelasan grafik juga menunjukkan bahwa sin x hampir sama dengan x untuk x kecil. Demikian pula, 1 min cos x dekat dengan setengah x kuadrat untuk x kecil, menggambarkan hubungan yang menarik antara fungsi trigonometri dan bentuk kuadrat.

Baik, tadi kita sudah memperlihatkan bahwa limit x menuju 0 dari sin x per x itu adalah 1.

Sekarang kita akan melihat bentuk yang berikutnya.

Limit x menuju 0 dari 1 kurang cos x dibagi dengan x.

Dan ini dapat kita selesaikan dengan menghitung limit x menuju 0 dari 1 kurang cos x dibagi dengan x.

Sekarang yang kita lakukan adalah mengalikan dengan sekawan seperti ini.

Sehingga apa yang kita dapatkan adalah limit x menuju 0 dari 1 kurang cos x dibagi dengan x dikali dengan 1 per 1 plus cos x.

Dan di sini yang dapat kita lakukan adalah dengan mengingat bahwa 1 kurang cos x adalah sin x.

Maka saya dapatkan limit x menuju 0 dari sin x per x kemudian dikali dengan sin x jadi sin kuadrat.

Kemudian dikali dengan 1 per 1 plus cos x.

Dan dari sini apa yang dapat kita simpulkan berdasarkan nomor 1 limit ini adalah 1.

Limit ini adalah 0 dan limit ini adalah setengah.

Dengan demikian menurut teorema limit, limitnya adalah 1 kali 0 kali setengah sama dengan 0.

Dan yang ketiga kita dapat juga melihat bahwa limit x menuju 0 dari 1 min cos x kalau kita bagi dengan x kuadrat sekarang.

Caranya kurang lebih sama seperti di atas saya tidak akan mengulanginya lagi.

Berarti saya akan dapatkan bentuk seperti ini tapi mengganti x dengan x kuadrat.

Jadi saya akan dapatkan di sini sin kuadrat x dibagi dengan x kuadrat dikali dengan 1 per 1 plus cos x.

Dan ini dapat saya ubah menjadi seperti ini.

Dan dengan demikian berdasarkan nomor 1 limit ini adalah 1 kemudian dikuadratkan jadi 1.

Dan limit ini adalah setengah makanya ini adalah setengah.

Nah mungkin saat yang tepat sekarang untuk menyimpulkan beberapa hal di sini.

Karena kita tahu bahwa limit x menuju 0 dari sin x per x adalah 1.

Ini berarti untuk x yang cukup kecil kita tahu bahwa sin x itu hampir sama dengan x.

Jadi kalau kita gambarkan grafiknya kurang lebih seperti ini.

Ini adalah y sama dengan x maka untuk x yang kecil nilai sinus pun akan ada di sini.

Itu yang dimaksud dengan limit sin x per x sama dengan 1.

Dan dari sini sangat menarik di sini kita bisa katakan bahwa untuk x yang kecil lagi-lagi

di sini kita dapatkan bahwa 1 min cos x itu kurang lebih akan dekat sekali dengan setengah x kuadrat.

Atau dengan kata lain untuk x yang kecil kita akan dapatkan bahwa cos x itu akan cukup dekat

dengan 1 kurang setengah x kuadrat seperti itu.

Jadi kalau kita mau gambarkan grafiknya kurang lebih 1 kurang setengah x kuadrat itu seperti ini.

Maka nilai cosinus pun besarnya akan kurang lebih seperti itu di sekitar sini.