Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas tentang sifat anti turunan dari fungsi 1/x. Antiturunan dari fungsi x pangkat n adalah 1/(n+1) kali x pangkat n+1 ditambah konstanta. Namun, perlu diingat bahwa n tidak boleh sama dengan -1 karena akan menghasilkan pembagian dengan nol. Fungsi ini memiliki sifat positif saat x > 1, negatif saat x < 1, dan nol saat x = 1. Fungsi ini diasosiasikan dengan luas area di atas dan di bawah kurva. Selain itu, sifat tambahan dari fungsi ini adalah bahwa integral dari 1/a hingga 1 adalah -integral dari 1 hingga a.

Kita telah mengerti apa yang dimaksud dengan antiturunan dari sebuah fungsi.

Untuk sederhananya antiturunan dari sebuah fungsi adalah sebuah fungsi yang kalau saya turunkan akan menghasilkan fungsi yang asalnya, yang awalnya.

Jadi kalau fx adalah x pangkat n maka antiturunannya adalah 1 per n plus 1 dikali dengan x pangkat n plus 1 ditambah sebuah konstanta sebarang.

Mengapa demikian? Sebab kalau kita turunkan fungsi ini kita akan mendapatkan kembali fungsi x pangkat n.

Sehingga kita tahu fx disini adalah antiturunan dari f kecil x.

Namun dari definisi ini jelas kita punya bahwa n tidak boleh sama dengan min 1.

N tidak boleh sama dengan min 1 sebab kalau n sama dengan min 1 maka koefisien ini 1 dibagi n plus 1 akan n plus 1 nya akan 0 dan kita tahu kita tidak boleh membagi dengan bilangan 0.

Jadi untuk keluarga fungsi fx sama dengan x pangkat n kita memiliki semua antiturunan dari keluarga fungsi seperti ini kecuali kalau fungsinya kalau n nya sama dengan min 1.

Jadi kalau n nya sama dengan min 1 dengan kata lain kita tidak memiliki antiturunan dari fungsi fx sama dengan 1 per x, x pangkat min 1 per x.

Paling tidak tidak dapat dituliskan menjadi bentuk seperti ini.

Namun kita juga sudah membuktikan kemarin bahwa kalau saya menuliskan fx sama dengan integral dari sesuatu 1 per t dt maka kita tahu ini adalah sebuah antiturunan.

Nah kemarin kita bisa pilih bilangan di bawahnya sebagai konstanta sebarang siapa saja.

Tapi kali ini kita harus berhati-hati, mengapa?

Sebab kita tahu grafik dari y sama dengan 1 per x ini adalah berbentuk seperti ini.

Jadi kalau kita pilih a nya disini negatif sedangkan x nya positif mungkin kita akan mendapatkan masalah disana karena kita punya suatu titik yang tidak continue.

1 per x itu hanya continue di daerah yang positif atau di daerah yang negatif tapi kalau daerah keseluruhan bilangan real itu tidak boleh.

Jadi untuk amannya pada saat ini kita batasi terlebih dahulu misalkan kita batasi x nya lebih besar dari 0 maka 1 per x itu akan positif.

Kita bisa mendefinisikan fx yang sama dengan integral dari 1 sampai x 1 per t dt.

Dan kita tahu bahwa ini adalah sebuah antiturunan dari ini dari 1 per x dengan menggunakan teorema fundamental kalkulus yang pertama.

Jadi turunan dari ini adalah 1 per x itu kita sudah tahu.

Jadi kita sudah bisa menyelesaikan masalah kita disini bahwa fungsi fx yang sama dengan x pangkat n ini akan mempunyai antiturunan yang berbentuk seperti ini.

Kalau n nya tidak sama dengan minus 1 dan akan mempunyai bentuk seperti ini kalau n nya sama dengan minus 1.

Pertanyaannya sekarang ini fungsi seperti apa?

Apakah kita dapat mengkarakterisasi fungsi tersebut fungsi ini bagaimana sifat-sifatnya apa yang harus dipenuhi dan seperti itu.

Nah sebelum kita melanjutkan mempelajari sifat-sifat ini satu hal yang penting untuk kita sadari disini adalah arti geometris dari fx ini tidak lain adalah jika x nya misalkan lebih besar dari 1 maka fx ini akan menyatakan luasan yang kuning seperti ini.

Jika seperti itu dan kalau x nya misalkan ini kalau x nya lebih besar dari 1 ya kalau x nya lebih besar dari 1 maka nilai fx ini tidak lain adalah luasan yang ini.

Sedangkan kalau x nya lebih kecil dari 1 tapi tetap harus positif sebab kalau negatif dia akan fungsinya akan diskontinue sehingga kita bisa mengalami masalah disana.

Kalau x nya teretak antara 0 dan 1 maka integral ini tidak lain adalah negatif dari luasan ini.

Jadi saya udah tau bahwa fungsi fx ini sifat yang pertama disini yang udah bisa langsung kita simpulkan sifat yang pertama disini bahwa fungsi fx ini

itu tidak lain adalah akan bernilai positif jika x nya lebih besar dari 1 sebab luasan itu selalu positif dan fx ini akan bernilai lebih kecil dari 0

kalau x nya lebih kecil dari 1 tapi tetap lebih besar dari 0 dan akan sama dengan 0 kalau nilainya sama dengan 1.

Nah untuk mudahnya kali ini saya akan memberi nama fungsi f ini sebagai fungsi lx karena ada kaitannya dengan luas seperti itu jadi saya beri nama ini sebagai lx

dan secara khusus kita ingin mempelajari lagi sifat-sifat dari fungsi ini dengan lebih jauh gitu ya.

Baik kembali kepada gambar ini saya hapus dulu ini kita punya x seperti itu dan ini 1 dan 1 seperti itu ini ada lagi sama dengan x seperti itu ya.

Nah misalkan kita punya sekarang sebuah bilangan a yang lebih besar dari 1 misalkan disini ini a nya nah kalau ini adalah a nya maka kita tahu besar ini tinggi ini adalah 1 per a.

Jadi besar disini adalah 1 per a dan saya dapat ambil 1 per a ini kemudian saya putar ke bawah saya akan dapat disini 1 per a dan saya bisa bawa ini ke atas untuk mendapatkan ini adalah besarnya sama dengan a.

Dan saya secara khusus sekarang akan mempelajari luasan dari area yang berbentuk seperti ini.

Ya baik coba lihat bagaimana cara kita menentukan luasan ini.

Yang pertama kita tahu disini bahwa luasan ini seharusnya adalah kalau kita hitung kita bisa hitung ini sebagai ini.

Yang merah ini adalah integral dari 1 sampai a dari 1 per t dt oke itu a nya dan kalau kita tambahkan dengan ini yang merah besar luasan ini adalah 1 dikali 1.

Jadi ditambah dengan 1 oke nah perhatikan bahwa penggal ini itu sama luasannya dengan penggal ini gambar saya kurang baik tapi penggal ini dengan penggal ini sama saja besarnya karena a disini ini juga a kemudian 1 per a disini 1 per a 1 per a penggal ini luasannya sama persis sama ini.

Jadi kalau saya mau menghitung luas yang merah ini saya dapat melakukannya juga dengan menghitung luasan yang ini.

Luasan yang kuning ini akan sama dengan luasan yang merah ini oke nah jadi sekarang saya mau lihat yang kuning.

Yang kuning saya dapat potong disini dan melihat luasan ini maka luasan ini adalah integral dari 1 per a sampai 1 dari 1 per t dt kemudian ditambah dengan luasan yang kuning ini dan yang kuning ini adalah 1 per a dikali dengan a jadi plus 1.

Dari sini kita udah tau bahwa bagian ini bisa cancel hilang jadi saya punya kaitan yang bagus seperti ini dan ini kalau saya tulis ulang di bawah sini saya akan punya integral dari 1 sampai a 1 per t dt dengan menggunakan sifat integral saya dapat membalik ini menjadi integral dari 1 sampai 1 per a seperti dt dengan membalik integralnya.

Dan kita kenali kalau lx itu sama dengan ini maka ini adalah la dan ini adalah minus dari l 1 per a jadi saya dapatkan sekarang sebuah sifat tambahan lagi dari fungsi lx ini bahwa l dari 1 per a itu adalah minus dari la.