Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas pembuktian limit dari konstanta dalam kalkulus 1. Konsep penting yang dijelaskan adalah tentang bagaimana membuktikan limit dari fungsi konstan, di mana limit untuk X menuju A dari fungsi konstan adalah konstanta itu sendiri. Dalam pembuktian limit, digunakan permainan epsilon delta untuk menunjukkan bahwa untuk setiap epsilon positif, selalu ada delta positif yang memenuhi syarat. Analoginya seperti membuktikan bahwa semua anak di dalam kelas menggunakan kacamata dengan mengambil sampel secara acak. Dengan pendekatan ini, dapat dibuktikan bahwa limit dari X menuju A dari fungsi konstan adalah konstanta itu sendiri.

Sampai saat ini, saya berharap Anda telah mulai yakin.

Setelah Anda melihat beberapa video sebelumnya,

mungkin Anda akan sekarang melihat bahwa salah satu permainan utama di dalam matematika adalah membuktikan sesuatu.

Bukti adalah bagian yang tidak bisa dipisahkan dari matematika,

dan semua pernyataan-pernyataan di dalam matematika yang belum dibuktikan,

maka mereka semua itu hanyalah sebuah fitnah yang keji.

Jadi kita tidak pernah bisa boleh menggunakannya sebelum kita bisa membuktikannya.

Contoh, misalkan kemarin kita memperlihatkan Teorema Pitagoras,

A kawadrat ditambah B kawadrat sama dengan C kawadrat di dalam sebuah segitiga siku-siku.

Saya yakin sekali bahwa Anda selama ini sudah bekerja dengan Teorema Pitagoras sejak zaman SD.

Namun mungkin baru kali ini Anda melihat sebuah bukti untuk Teorema Pitagoras.

Dengan demikian selama ini kita hanya menggunakan sebuah fitnah,

kita hanya menggunakan sebuah kebenaran yang belum dibuktikan.

Nah salah satu yang kita ingin lakukan dalam hari ini adalah membuktikan beberapa limit-limit yang sederhana.

Nah yang paling sederhana barangkali adalah seperti ini,

bahwa limit untuk X menuju A dari fungsi konstan itu adalah konstanta itu sendiri.

Kita ingin membuktikan ini dan ini tentu saja benar, betul kan ya?

Kita bisa ingat bahwa kalau misalkan saya tanya berapa limit X menuju 1 dari 2?

Jadi konstanta itu sendiri yang merupakan limitnya seperti itu ya.

Nah untuk membuktikan limit ini saya tuliskan kembali definisinya supaya Anda ingat.

Limit X menuju A dari fx itu adalah L jika dan hanya jika berlaku untuk setiap epsilon selalu ada delta positif

sehingga jika X dikurangi A kecil dari delta maka fx dikurangi L akan lebih kecil dari epsilon.

Nah ini tidak lain adalah permainan epsilon delta yang telah kita lihat pada kuliah-kuliah sebelumnya.

Nah ada beberapa hal di sini yang sangat yang aneh yaitu untuk setiap epsilon dan ada delta.

Perhatikan bahwa saya mau membuktikan untuk setiap epsilon ada delta.

Misalkan pernyataannya saya tulis seperti ini.

Semua anak yang ada di dalam kelas itu memakai kacamata.

Bagaimana cara saya membuktikan statement seperti itu?

Bolehkah saya memilih orang-orang di dalam kelas itu dan memperlihatkan bahwa mereka memakai kacamata?

Tentu saja tidak sebab saya memilihnya bisa saja secara khusus yang memang benar memakai kacamata.

Untuk membuktikan bahwa semua anak di dalam kelas menggunakan kacamata saya harus mengambil sampel secara acak.

Secara sembarangan saya harus mengambil sampel secara sembarangan dan menunjukkan bahwa untuk sampel itu dia memakai kacamata.

Sama disini ketika saya berkata disini bahwa untuk setiap epsilon positif harus ada delta berarti saya harus mengambil epsilon positif sebarang.

Dan saya harus menunjukkan bahwa saya bisa mengkonstruksi atau bisa memilih delta yang tepat sehingga kalimat ini benar.

Saya selalu mulai dari sisi yang sini jadi saya pandang.

Nah fx, fnya disini k berarti saya pandang fx dikurangi L saya mulai dari sisi yang ini ya.

Fx dikurangi L fxnya adalah k berarti adalah k dikurangi dengan k nilai Lnya adalah k dan ini adalah 0.

Jadi sama dengan 0 berarti sama dengan 0.

Nah kalau dia sama dengan 0 karena epsilonnya positif sebarang maka dia selalu lebih kecil dari epsilon berapapun deltanya.

Jadi saya memilih deltanya sama dengan 1 boleh.

Oh nggak suka saya mau milihnya 2 nggak ada masalah.

Juga saya nggak suka ini saya maunya 2022 pangkat 207 boleh.

Deltanya boleh saya pilih secara sebarang disini karena kalimat ini selalu dipenuhi berapapun delta.

Jadi saya pilih disini deltanya 1 saja yang baik.

Nah dengan begitu saya bukti saya selesai saya sudah membuktikan bahwa limit x menuju a dari limit x menuju a dari k adalah k.