Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konsep himpunan bilangan, mulai dari bilangan asli hingga bilangan rasional yang diperluas dari bilangan bulat. Bilangan rasional, seperti pecahan, memiliki ekspresi yang beragam, tetapi memiliki ciri khas pecahan sederhana tanpa faktor persekutuan yang sama. Pitagoras menemukan bahwa tidak semua bilangan adalah rasional, melalui teorema Pythagoras yang membuktikan adanya bilangan real. Proses reductio ad absurdum digunakan untuk menunjukkan bahwa akar kuadrat dari 2 merupakan bilangan irasional.

Di dalam matematika objek yang paling mendasar adalah sebuah himpunan dan khususnya

dalam perkuliahan ini kita akan banyak bekerja dengan himpunan bilangan.

Himpunan-himpunan bilangan yang paling klasik barangkali adalah himpunan bilangan asli

yang berisikan 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Himpunan bilangan ini sudah kita kenal sejak SD.

Kemudian himpunan bilangan asli ini dapat diperluas menjadi himpunan bilangan bulat

dan menambahkan unsur nol dan menambahkan bilangan-bilangan negatif

Nah ini pun juga diperluas kembali menjadi sebuah himpunan bilangan baru

Dan secara khusus kita akan melihat bilangan rasional ini secara lebih spesifik.

Bilangan rasional ini kita kenal di pelajaran-pelajaran matematika SD, SMP, maupun SMA

Dan kita tahu bilangan 1 per 2 ini bisa ditulis menjadi 2 per 4,

juga bisa ditulis menjadi 8 per 16, dan seterusnya.

Jadi semua bilangan-bilangan ini kita anggap adalah bilangan-bilangan yang sama.

Jadi bilangan rasional memiliki ekspresi yang cukup banyak dalam hal ini.

Nah kita kenal 1 per 2 ini meskipun sama dengan 2 per 4 dan sama dengan 8 per 16

kita mengenali bilangan 1 per 2 ini dan menyebutnya sebagai pecahan yang paling sederhana.

Dan ciri utama dari pecahan yang paling sederhana adalah

antara pembilang dan penyebutnya sudah tidak lagi memiliki faktor persekutuan yang sama.

Bilangan rasional juga memiliki sebuah keunikan yang menarik untuk kita perhatikan di sini.

Misalkan kita punya 2 buah bilangan rasional yaitu 1 dan 2,

maka di antara 1 dan 2 ini kita memiliki bilangan rasional lain yang berbentuk 3 per 2.

Dan 3 per 2 ini dengan mudah dapat kita hitung sebagai 1 ditambah 2 dibagi 2.

Dan antara 1 dan 3 per 2 itu lagi-lagi ada sebuah bilangan rasional lain

yang lagi-lagi dapat saya tulis menjadi 1 ditambah 3 per 2 dibagi 2.

Dan Anda perhatikan bahwa berapapun kecilnya atau dekatnya 2 buah bilangan rasional,

selalu kita dapat menemukan bilangan rasional lain dengan cara menghitung A ditambah B dibagi 2.

Dan ini memberikan kepada kita pengertian bahwa bilangan rasional itu

tidak seperti bilangan bulat yang jarang-jarang seperti itu,

tapi bilangan rasional ini seperti sangat rapat sekali.

Di antara 2 buah bilangan rasional selalu terdapat bilangan rasional lain.

Dan itulah yang menyebabkan bahwa selama beberapa lama manusia berpikir bahwa

jangan-jangan semua bilangan adalah bilangan rasional.

Jangan-jangan kita sudah memiliki semua bilangan yang mungkin,

dengan kata lain tidak ada lagi bilangan yang lain.

Dan hal ini terbukti salah karena kemudian Pitagoras menemukan sebuah teorema yang sangat bagus.

Teorema itu berkata bahwa kalau kita mempunyai sebuah segitiga siku-siku

yang panjang sisinya adalah A dan B, kemudian sisi miringnya adalah C.

Pitagoras mengatakan bahwa haruslah berlaku A kuadrat ditambah B kuadrat sama dengan C kuadrat.

Khususnya kalau A dan B nya sama dengan 1 maka saya akan mempunyai 2,

1 kuadrat ditambah 1 kuadrat itu adalah 2 sama dengan C kuadrat.

Nah selama beberapa lama Pitagoras dan murid-muridnya berusaha menemukan

apakah ada sebuah bilangan rasional yang memenuhi hubungan ini.

Bahwa ketika dia dikuadratkan hasilnya adalah C kuadrat.

Nah kalau dia adalah bilangan rasional maka dia dapat ditulis C ini dapat ditulis menjadi A per B

dengan A dan B nya adalah bilangan bulat.

Barangkali saya jangan menggunakan huruf yang sama tapi saya pakai saja huruf yang lain M dan N

di mana M dan N nya adalah anggota bilangan bulat.

Nah kita ingat bahwa bilangan rasional itu memiliki ekspresi yang banyak sekali

jadi kita asumsikan sekarang ini M per N ini adalah ekspresi yang paling sederhana.

Nah apa itu ekspresi yang paling sederhana?

Kita ingat tadi bahwa faktor persekutuan terbesarnya atau FPB nya itu adalah 1.

Jadi dia sudah tidak mempunyai lagi faktor persekutuan yang lebih besar dari 1.

Oke nah jika demikian karena kita tahu bahwa C kuadrat adalah 2

maka saya punya M kuadrat dibagi N kuadrat itu adalah 2

dan ini berarti M kuadrat adalah 2 N kuadrat.

Dari hasil ini yang dikatakan adalah M haruslah bilangan genap

sebab hanya bilangan genap yang kalau dikuadratkan hasilnya adalah bilangan genap.

2 N kuadrat itu bilangan genap jadi mau gak mau M nya harus genap.

Jadi kita dapatkan M adalah genap berarti M nya dapat ditulis menjadi 2 dikali K misalkan.

Sebuah bilangan bulat lain jadi K nya adalah bilangan bulat yang lain.

Nah kita substitusikan kembali ke dalam formula kita yang ini

maka kita dapatkan 4 K kuadrat haruslah sama dengan 2 N kuadrat.

Dan ini sama saja dengan mengatakan 2 K kuadrat adalah N kuadrat.

Dengan argumentasi yang sama disini kita dapatkan bahwa N adalah bilangan genap.

Bisa ditulis menjadi 2 dikali L dengan L adalah bilangan bulat yang lain.

Jadi M nya bilangan genap L nya N nya juga bilangan genap.

Mereka memiliki faktor persekutuan yang lain selain 1 yaitu 2.

Padahal kita tadi mengasumsikan bahwa faktor persekutuan terbesarnya harus 1.

Dengan demikian tidak mungkin ada M dan N yang bisa kita tuliskan

sehingga kalau kita kuadratkan hasilnya adalah 2.

Nah cara membuktikan ini itu dikenal pada jaman Pitagoras dulu,

kemudian dikenal pada jaman Euler berikutnya dan disebut sebagai reductio ad absurdum.

Kita mengasumsikan sesuatu kemudian kita menurunkan sesuatu yang kontradiktif.

Bahwa M dan N memiliki faktor persekutuan terbesar 1

tetapi kita menunjukkan bahwa M dan N memiliki faktor persekutuan yang lebih besar dari 1.

Dengan demikian mereka haruslah, ini sebuah kontradiksi dengan demikian

permisalan saya salah jadi tidak ada bilangan yang bisa memenuhi persamaan ini.

Dengan demikian kita dapatkan bahwa C yang ada di sini yang dikuadratkan hasilnya 2 ini

tidak mungkin merupakan bilangan rasional.

Jadi kita menemukan sebuah bilangan lain yang tidak rasional.

Dengan demikian kita perlu bilangan yang lebih besar lagi dan bilangan itu adalah bilangan real.

Pengenalan Himpunan Bilangan

DEKSRIPSI

PENGAJAR

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

DEKSRIPSI

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.