Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konsep selisih dari 2 buah anti-turunan dalam Kalkulus 1. Anti-turunan adalah fungsi yang saat diturunkan akan menghasilkan fungsi aslinya. Jika terdapat 2 anti-turunan g1 dan g2 dari fungsi f, maka selisih turunan keduanya akan menjadi konstan. Hal ini menunjukkan bahwa 2 anti-turunan dari fungsi yang sama hanya berbeda oleh konstanta. Jadi, perbedaan keduanya hanya terletak pada faktor konstan, bukan dalam bentuk ekspresi fungsi aslinya.

Sejauh ini kita sudah bisa mendapatkan apa yang dinamakan dengan Teorema Fundamental Kalkulus yang pertama.

Yaitu kalau f continue di a, b mengapa harus continue?

Sebab kita memerlukannya di dalam buktinya untuk bisa menerapkan teorema-teorema yang kita gunakan di dalam buktinya.

Kalau f itu continue pada interval a, b maka turunan dari integral a sampai x f tdt ini adalah fx seperti itu.

Dan kita bisa menamakan ini sebagai fungsi fx yang di dalam kurung ini dapat kita perkenalkan sebagai f besar x f tdt.

Maka fungsi ini disebut anti-turunan dari f kecil.

Jadi sesuatu yang kita turunkan hasilnya adalah f.

Nah catat ini baik-baik bahwa anti-turunan dari sebuah fungsi itu enggak konstan, itu enggak tunggal.

Kalau misalkan fx ini saya definisikan bukan sebagai ini tetapi saya tambahkan dengan 5 maka turunannya masih tetap sama dengan f.

Jadi dalam hal ini saya punya anti-turunan, anti-turunan dari f kecil itu ada banyak.

Itu yang pertama, ada banyak tidak tunggal anti-turunannya berbeda dengan turunan.

Kalau saya punya fx sama dengan x kwadrat turunannya 2x.

Kalau saya punya fx sama dengan sin x turunannya adalah cos x.

Tetapi kalau saya punya fungsinya adalah x kwadrat maka anti-turunannya ada banyak.

Anti-turunannya bukan hanya 1 per 3 x mangga 3 tetapi 1 per 3 x mangga 3 ditambah dengan konstan.

Jadi ada banyak sekali anti-turunan dari f.

Tetapi ini sifat yang penting sekali apa arti dari anti-turunan?

Anti-turunan adalah sebuah fungsi yang kalau diturunkan dia menjadi f.

Anti-turunan dari f kecil adalah fungsi yang kalau diturunkan adalah hasilnya menjadi f.

Misalkan sekarang saya punya 2 buah anti-turunan yaitu g1 dan g2.

Misalkan g1 dan g2 ini adalah anti-turunan dari f.

Yang harus dipenuhi adalah ddx dari g1x hasilnya harus sama dengan fx.

Kemudian ddx dari g2x juga harus sama dengan fx karena g2 juga anti-turunan dari f.

Dari kedua hal ini saya dapat simpulkan bahwa ddx dari g1x-g2x itu adalah fx-fx sama dengan 0.

Jadi menarik sekali di sini bahwa 2 buah anti-turunan kalau saya hitung selisihnya

kemudian saya hitung turunannya, turunannya harus 0.

Sesuatu yang kalau diturunkan hasilnya adalah 0 adalah konstanta.

Jadi dalam hal ini saya dapat simpulkan bahwa g1x haruslah sama dengan g2x ditambah konstan.

Artinya kalau saya punya 2 buah anti-turunan dari sebuah fungsi yang sama

Gak mungkin berbeda bentuknya, gak mungkin berbeda dalam bentuk ekspresi x-nya.

Mereka hanya berbeda dari faktor konstan.

Yang satu adalah yang lain ditambah konstan.