Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas Teorema Fundamental Kalkulus I yang menjelaskan pentingnya teorema nilai rata-rata untuk integral. Dalam video ini, dijelaskan bahwa fungsi fx adalah integral dari a sampai x ft dt. Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata, turunan dari fungsi ini adalah f kecil x, yang dikenal sebagai Teorema Fundamental Kalkulus yang pertama. Jadi, Teorema ini menyatakan bahwa turunan dari fx adalah fx, menegaskan hubungan yang penting dalam kalkulus.

Sekali lagi kita sudah memiliki apa yang disebut dengan teorema nilai rata-rata untuk integral.

Yaitu kalau f continue pada a, b maka akan terdapat x0 di antara a, b.

Sedemikian sehingga fx0 kalau dikali dengan b-a intervalnya akan sama dengan integral dari a sampai b fx dx.

Nah sekarang kita akan mendefinisikan sebuah fungsi.

Fungsi tersebut adalah fx sama dengan integral dari a sampai x ft dt.

Jangan lupa bahwa kita punya y sama dengan fx sebarang seperti ini.

Kemudian kita memilih sebuah titik a seperti ini.

Dan kemudian kita dapat memainkan x-nya mengaitkan x ini dengan luasan ini.

Jadi nilai fx disini tidak lain adalah luasan dari ini dan x-nya bisa berubah-ubah.

Dari sini dengan jelas dapat kita lihat bahwa kalau x-nya sama dengan a nilainya harus sama dengan 0.

Kalau x-nya lebih kecil dari a dalam kasus ini fx-nya akan sama dengan negatif.

Sedangkan kalau x-nya lebih besar dari a nilainya akan positif.

Ini hanya fungsi yang mengaitkan antara bilangan x batas atas dari integralnya dengan luasan yang kita hitung.

Tapi kita dapat mendefinisikan fungsi seperti itu.

Dan sekarang yang kita tanya adalah bagaimana apakah kita dapat menghitung turunan dari fungsi ini f aksen x seperti apa.

Berdasarkan definisi yang kita punya ini tidak lain adalah limit untuk h menuju ke 0.

Dari fx plus h dikurangi dengan fx dibagi dengan h.

Ini adalah definisinya, turunan definisinya.

Dan ini dapat kita sederhanakan menjadi seperti ini.

Limit h menuju 0, 1 per h-nya saya bawa ke depan.

Saya punya di sini 1 per h dikali dengan fx plus h.

Jadi dapat saya hitung integralnya dari a sampai x plus h di sini f t dt.

Kemudian dikurangi dengan integral dari a sampai x f t dt.

Ilustrasi lagi, kalau saya sekarang punya ini f-nya.

Kemudian ini a, ini x dan supaya gampang saya anggap x plus h-nya hanya positif terlebih dahulu.

Saya hitung luasan dari a sampai x plus h.

Kemudian saya potong dengan luasan dari a sampai x.

Jadi pada dasarnya yang saya dapatkan adalah luasan ini.

Jadi integral ini dapat saya tulis menjadi limit dari h menuju ke 0 dari 1 per h.

Integral ini dapat saya tulis sebagai integral dari x sampai x plus h dikali f t dt seperti itu.

Nah ini kalau h-nya positif ya, kita pilih h-nya yang positif terlebih dahulu.

Dari sini saya bisa pakai teorema nilai rata-rata untuk integral ini.

Dijamin akan ada sebuah x0 di antara mereka.

Jadi bayangkan di sini saya punya x, saya punya x plus h.

Teorema nilai rata-rata menjamin akan adanya sebuah x0 di sini.

Sedemikian sehingga integral ini dapat saya ganti menjadi limit h menuju 0.

Dari 1 per h dikali dengan, nah ini dapat saya ganti dengan ini.

Dijamin oleh teorema nilai rata-rata ada efek 0 dikali dengan b kurang a.

Dengan mikian saya habis seperti ini h-nya.

Nah perhatikan sekarang kalau h-nya menuju ke 0, ini x plus h, ini x, ini x0.

Kalau h-nya menuju ke 0 maka mau tidak mau x0-nya harus menuju ke x.

Kalau saya definisikan fungsi fx seperti ini maka turunannya adalah f kecil x.

Jadi saya punya sebuah teorema yang kita kenal dengan nama Teorema Fundamental Kalkulus yang pertama.

Yaitu kalau saya punya fx jadi definisikan seperti ini maka turunan dari fx adalah fx.

Dan inilah yang kita kenal dengan Teorema Fundamental Kalkulus yang pertama.