Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas teorema nilai antara dalam konteks fungsi kontinu, yang memastikan adanya nilai C di antara dua titik yang mencapai nilai tertentu. Teorema ini menjelaskan pentingnya kekontinuan dalam menggambarkan grafik fungsi. Contoh penerapan teorema ini disajikan melalui fungsi matematika berpangkat tinggi seperti pangkat 3, 4, dan 5. Penyelesaian persamaan tak linier yang sulit menggunakan teorema ini juga dibahas. Kesimpulannya, kekontinuan fungsi sangat penting dalam menentukan keberadaan nilai tertentu dalam suatu interval.

Salah satu hal penting tentang fungsi kontinu adalah sebagai berikut.

Saya mau mengingatkan pengalaman kita ketika kita di SMA dulu.

Biasanya waktu kita mempunyai sebuah fungsi F dan kemudian kita diminta untuk menggambarkan grafiknya.

Yang kita lakukan adalah menentukan titik-titik uji, titik-titik istimewa seperti ini.

Beberapa titik dalam hal ini saya pilih 0, 1, 2, 3, 4 misalkan.

Kemudian titik-titik ini saya substitusikan ke dalam fungsi F untuk mendapatkan ordinatnya.

Dan kemudian saya memberi titik-titik noktah-noktah ini pada grafik.

Dan kemudian apa yang saya lakukan biasanya adalah seperti menyambung ini menjadi sebuah grafik yang berbentuk seperti itu.

Mengapa boleh kita melakukan seperti ini?

Apakah tidak mungkin grafiknya berbentuk seperti ini misalkan?

Seperti ini, kemudian di sini, kemudian ini, kemudian ini dan seperti itu.

Apakah tidak mungkin grafiknya berbentuk seperti ini?

Mungkin-mungkin saja bahkan bisa lebih kompleks lagi.

Seperti ini atau misalkan bisa nilainya ini dan nilainya ini misalkan.

Terus di sini nilainya ini dan nilainya ini misalkan bisa.

Bisa juga nilainya di sini rata seperti itu dan hanya bolong di sini.

Dan nilai Fnya sebelah sini dan yang ini nilainya di sini seperti itu.

Bisa banyak hal yang mungkin terjadi tapi kita dengan mudah menggambarkan grafik seperti ini.

Mengapa? Karena semua fungsi-fungsi yang kita kenal di SMA biasanya adalah fungsi-fungsi yang kontinu.

Jadi yang membuat kita bisa menggambarkan grafik ini sebagai sebuah kurva mulus itu adalah kekontinuan.

Mengapa begitu? Karena fungsi kontinu memenuhi apa yang disebut dengan teorema nilai antara seperti ini.

Jadi jika F kontinu pada interval tutup A, B maka untuk setiap M yang terletak di antara F A dan F B

selalu ada C di dalam interval ini sehingga F C itu sama dengan M.

Jadi saya tinggal melihat sekarang kalau saya tahu Fnya kontinu di antara 0, F 0 di sini dan F 1 di sini

maka semua nilai, semua M yang ada di sini itu selalu bisa dicapai oleh sebuah titik yang berada di antara 0, 1 seperti itu.

Dan itulah yang membuat saya bisa menggambarkan grafik yang mulus seperti itu.

Mari saya coba perlihatkan lagi pada anda sebuah contoh lain yang lebih dramatis

misalkan di sini A nya di sini dan saya pilih B nya di sini.

Yang saya tahu di sini adalah apa bahwa F A itu ini dan F B itu ini

Nah siapapun nilai M di sini itu selalu akan dicapai oleh sebuah titik di sini.

Teorema ini selalu menjamin bahwa ada C di dalam interval ini yang mencapai nilai M

asal M nya ada di antara F A dan F B seperti ini.

Jadi misalkan M nya itu adalah ini, kalau M nya adalah yang kuning ini saya gambar.

Nah maka kalau F nya ini continue dijamin bahwa grafik F X itu pasti akan memotong garis ini.

Itu yang dikatakan oleh teorema nilai antara.

Berapa kali motongnya tidak dijamin di sini.

Jadi saya masih bisa punya fungsi yang continue begini.

Anda lihat dia melalui garis M ini 3 kali 1, 2, 3 bisa seperti itu.

Tapi pasti memotong garis Y sama dengan M.

Jadi kalau F nya continue teorema ini menjamin eksistensi dari nilai C seperti ini.

Nah mengapa teorema ini dan kekontinuan ini menjadi sangat penting.

Selain untuk menggabungkan atau menyambungkan grafik ini.

Bayangkan kalau saya punya persoalan seperti ini.

Misalkan Fx adalah x kuadrat minus 2x minus 3.

Titik potong dengan sumbu X berarti Y sama dengan 0.

Kalau Y sama dengan 0 berarti saya mencoba menyelesaikan persamaan ini.

Saya punya formula ABC yang untuk menyelesaikan ini.

Tapi saya juga bisa lihat bahwa ini tidak lain adalah ini.

Sehingga saya tahu bahwa F nilainya akan 0.

Kalau X sama dengan 3 atau X sama dengan minus 1.

Jadi saya tahu dia memotong sumbu X di 2 titik.

Di titik X sama dengan 3 dan di titik X sama dengan minus 1.

Bagaimana kalau saya ganti ini dengan pangkat 3?

Untuk pangkat 3 persoalannya sudah sangat sulit.

Tapi kita masih punya apa yang dinamakan dengan formula Cardano.

Anda bisa cari di internet ekspresinya seperti apa.

Untuk pangkat 4 tertentu kita masih bisa memaksa.

Meng transformasikannya ke dalam fungsi pangkat 3.

Fungsi pangkat 3 yang kemudian akhirnya bisa kita selesaikan dengan formula yang sebelumnya.

Lalu bagaimana kalau fungsinya pangkat 5?

Memperlihatkan bahwa tidak mungkin ada formula ABC.

Untuk menyelesaikan persamaan seperti ini.

Untuk pangkat yang lebih besar atau sama dengan 5.

Jadi untuk itu saja kita sudah tidak bisa menyelesaikan persoalannya.

Belum lagi kalau kita berhadapan dengan fungsi yang misalkan seperti ini.

Tidak ada formula ABC yang jelas bisa kita paksakan disini kan?

Tapi dari sisi grafik kita bisa tahu bahwa cosines X itu seperti ini.

Kebetulan dalam kondisi ini kita bisa menggambarkan grafiknya.

Sehingga kita bisa memperkirakan oke kedua grafik ini berpotongan.