Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas teorema nilai rata-rata integral dalam kalkulus 1, di mana jika F adalah fungsi kontinu di interval A,B, maka ada X0 di dalam interval tersebut sehingga nilai F X0 sama dengan 1 per B kurangi A, dikali integral dari A sampai B F X DX. Teorema ini dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya saat meratakan gula di gelas sehingga ketinggian tertentu tercapai, yang sesuai dengan konsep teorema nilai rata-rata integral.

Misalkan F adalah fungsi kontinu di interval A,B.

Nah sebagai ilustrasi yang sederhana saya perlihatkan contohnya seperti ini.

Dan supaya mudah saya pilih fungsi yang monotonai.

Dan kamu bisa lihat di sini bahwa nilai F untuk setiap X yang berada di dalam interval A dan B.

Seperti itu nilai Fx itu selalu terletak antara M dan M kecil.

Nah kita punya sebuah teorema yang sayang sekali untuk membuktikannya

membutuhkan konsep bilangan real yang lebih jauh daripada apa yang sudah kita bahas di dalam perkuliahan ini.

Jadi saya akan berikan teoremanya itu sebagai sebuah fakta saja tanpa membicarakan buktinya.

Kalau F itu adalah fungsi yang kontinu di dalam A,B.

Dan kemudian nilainya itu terletak antara Fm di sini karena saya pilih fungsinya demikian.

Kalau B di sini karena fungsinya saya demikian.

Maka pasti akan ada F kalau saya pilih sebuah bilangan sembarang di sini K misalkan.

Maka saya pasti akan terdapat untuk setiap K yang terletak di antara M kecil dan M besar.

Maka pasti akan ada sebuah X, X0 dalam hal ini di dalam interval A,B.

Sedemikian sehingga nilai dari F X0 tersebut harus sama dengan K.

Jadi dimanapun saya pilih pasti saya akan ketemu sebuah nilai X0.

Ini buktinya sebenarnya sederhana dan clear dari gambar ini.

Tapi untuk membuktikannya kita perlu konsep bilangan real yang lebih jauh.

Bahwa K tersebut harus untuk setiap K yang terletak antara M dan M besar itu.

Nah yang menarik di sini adalah kalau saya melihat F X.

Tadi saya sudah tahu bahwa F X harus terletak di antara M.

Nah kalau saya kali M dengan B kurangi A di sini.

Seperti bahwa nilai integral ini yang ada luasan yang merah ini.

Pasti akan lebih kecil daripada M dikali dengan ini.

Karena luasan yang merah berada di antaranya.

Dan ini dapat saya sederhanakan lagi dengan membagi semuanya dengan B minus A.

Sehingga saya dapatkan di sini bahwa ini M.

Dan di sini hilang 1 per N sama dengan M.

Jadi berdasarkan ini nilai dari 1 per B minus A.

Persis seperti premis yang kita butuhkan untuk teorema nilai antara.

Jadi dengan kata lain menurut teorema nilai antara.

Nilai antara dijamin akan ada sebuah X0 yang berada di dalam interval A, B.

Sedemikian sehingga nilai dari F X 0 tersebut.

Inilah yang disebut dengan teorema nilai rata-rata untuk integral.

Dan buktinya kurang lebih kira-kira seperti itu.

Namun sebenarnya kita dapat melihat teorema ini di dalam aplikasi sehari-hari.

Misalkan kita pergi ke warung untuk kemudian kita membeli gula.

Dan gula itu kemudian kita tuangkan ke dalam sebuah gelas seperti ini.

Gula yang kita beli di warung diberikan dalam plastik dan plastik gula pasir.

Kalau kita tuangkan ke dalam tempat ini kemungkinan kita akan dapatkan bentuk yang seperti ini sebagai gulanya.

Nah setelah itu biasanya sebelum wadah ini, tempat ini bisa ditutup.

Dan ketika kita ratakan, kita goyang-goyang tempatnya ini.

Bagian yang lebih rendah akan naik, bagian yang lebih rendah akan turun.

Itu sama dengan mengatakan bahwa luasan ini adalah sama dengan nilai FX ini dikali B-minimal.

Jadi teorema nilai rata-rata itu sebenarnya dapat kita lihat dalam kehidupan sehari-hari cukup sering.