Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas teorema nilai rata-rata untuk turunan yang penting dalam kalkulus. Teorema ini menyatakan bahwa terdapat sebuah bilangan di antara dua titik tertentu sehingga turunan fungsi pada titik tersebut sejajar dengan garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Konsep ini digunakan untuk membuktikan kemonotonan dan kecekungan suatu fungsi. Teorema ini menjamin adanya titik C di dalam interval tertentu sehingga turunan fungsi pada titik tersebut sama dengan perubahan nilai fungsi dibagi perubahan nilai input.

Aplikasi berikutnya adalah apa yang kita kenal dengan nama teorema nilai rata-rata untuk turunan.

Sebenarnya ini bukan aplikasi langsung dari teorema nilai dari turunan namun ini adalah

sesuatu teorema yang kita butuhkan untuk membuktikan beberapa hal nanti yang sebagai aplikasi dari turunan

yaitu kemonotonan, kemudian untuk kecekungan. Jadi ini adalah teorema yang dibutuhkan untuk membuktikan itu.

Kita akan diskusikan tentang teorema itu. Teorema ini sebenarnya sangat clear kalau kita lihat secara geometrisnya.

Teorema ini sangat clear. Jadi misalkan kita punya fungsi fx seperti ini dan kita ketahui bahwa di titik A

dia melalui titik A, FA dan di B melalui B, FB. Saya gambarkan grafiknya kira-kira seperti ini.

Saya bisa membuat garis berwarna biru ini, sebuah garis lurus seperti itu dan tentunya kita tahu bahwa garis lurus ini

itu mempunyai gradien dan kalau kita hitung gradiennya adalah FB dikurangi FA dibagi B kurang A.

Teorema nilai rata-rata itu mengatakan bahwa pasti ada sebuah bilangan di antara A dan B.

Sedemikian sehingga turunannya jadi garis singgungnya itu sejajar dengan garis ini.

Itu yang dimaksud dengan teorema nilai rata-rata. Nah kita tahu kalau garis itu sejajar maka gradiennya harus sama.

Siapa gradien garis singgung? F aksen di titik ini dan siapa gradien ini? FB min FA per B min A.

Jadi teorema nilai rata-rata ini bilang bahwa terdapat sebuah C di dalam interval A, B ini

sehingga F aksen C harus sama dengan FB kurang FA dibagi dengan B minus A.

Dan siapa dia? Dia tidak lain adalah gradien dari garis B ini.

Jangan terjebak gambar saya hanya memperlihatkan bahwa terdapat satu titik tapi nggak harus seperti itu.

Misalkan saya punya kasus lain ini garisnya FA dan FB saya bisa membuat F yang seperti ini.

Maka akan terdapat dua titik di sini yang seperti itu.

Dan tentunya Anda dapat membuat yang lebih liar lagi.

Nah mungkin akan terdapat lebih dari dua titik. Jadi teorema ini tidak menjamin ada berapa banyak C

tapi dijamin pasti ada. Mungkin satu, mungkin dua atau lebih dari itu juga bisa.

Bagaimana buktinya? Buktinya adalah kita memanfaatkan teori ini.

Kalau sekarang saya mencoba menghitung, saya bisa hitung sekarang garis ini.

Garis yang B ini itu tidak lain adalah Y dikurangi dengan FA dikali dengan FB minus FA

sama dengan X dikurangi A dibagi B kurang A.

Ini adalah persamaan garis yang biru ini.

Dan persamaan ini kemudian dapat saya oprek sehingga saya bisa tulis bahwa Y dikurangi dengan FA

itu sama dengan FB kurang FA dibagi B min A dikali X min A.

Sederhana saja hanya memindahkan suku ini ke sana.

Lalu kemudian sama dengan ini bisa kita pindah ke sini.

Kemudian fungsi inilah yang saya tulis sebagai misalkan GX adalah fungsi ini.

FA ditambah dengan FB kurang FA dibagi B min A dikali X min A.

Dan sekarang saya pandang fungsi lain yang berbentuk SX yang adalah FX dikurangi dengan GX.

Fungsi SX ini tidak lain adalah jarak ini sebenarnya.

F dikurangi dengan G karena ini adalah G nya.

Persamaan G ini kan persamaan garis yang ini dan G ini adalah persamaan G nya.

Anda bisa lihat bahwa titik C ini adalah titik yang mencapai yang jaraknya paling besar.

Kita cek F adalah fungsi yang continue di A, B.

Dan G adalah fungsi garis lurus yang pasti continue juga.

Jadi selisih mereka pasti fungsi continue juga.

Kalau dia fungsi continue berarti dia akan mencapai maksimum di dalam sini.

Teorema nilai eksistensi nilai maksimum dan minimum tadi menjamin itu.

Kemudian kita tahu juga bahwa fungsi F nya ini adalah fungsi yang differentiable di A, B.

Dan G adalah persamaan garis berarti dia juga differentiable di dalam interval A, B itu.

Akibatnya S ini juga differentiable di sana.

Dan kalau S nya differentiable di sana artinya apa?

Ingat ya tadi titik kritis nilai maksimum atau minimum itu pasti dicapainya di titik kritis.

Titik ujung selang atau titik singulir atau titik stasioner.

Kalau di A itu kan titik ujungnya A dan B.

Perhatikan bahwa F dan G itu berimpit di A dan B.

Kalau dia 0 gak mungkin ini yang maksimum dong karena geser sedikit kan udah jadi positif dia.

Jadi pasti maksimumnya bukan di ujung-ujung.

Karena di ujung-ujungnya itu nilainya adalah 0.

Titik ujung, titik singulir atau titik stasioner.

Titik ujung tidak mungkin karena nilainya 0 di sana.

Titik singulir tidak mungkin karena tidak ada.

Jadi mau tidak mau haruslah titik stasioner.

Jadi disini teorema yang tadi mengatakan ada C dari eksistensi Max dan Min.

Kita dapat menunjukkan bahwa terdapat sebuah C di dalam interval A, B.

Ini X Min A turunannya 1 berarti tinggal ini.

Berarti ini sama dengan minus F B kurang F A dibagi B Min A.