Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas cara menghitung volume benda yang diputar di luar sumbu koordinat dengan menggunakan integral. Proses ini melibatkan pemutaran daerah yang dibatasi oleh fungsi matematika tertentu terhadap garis di luar sumbu koordinat. Dengan memilih partisi yang sejajar dengan sumbu putar, kita dapat menghitung volume dengan lebih mudah. Integral digunakan untuk menghitung volume total benda yang diputar dengan memperhitungkan lebar, tinggi, dan kelilingnya. Langkah-langkah ini akan membantu dalam menyelesaikan perhitungan integral yang rumit untuk mendapatkan volume benda tersebut.

Contoh selanjutnya kita akan melihat bagaimana caranya menghitung volume dari sebuah benda yang didapat

dengan memutar daerah yang dibatasi oleh y sama dengan x dikali 2 min x dan sumbu x terhadap garis x sama dengan 3.

Jadi yang pertama sumbu putarnya bukan sumbu-sumbu koordinat tetapi sebuah garis yang di luar dari sumbu koordinat yang bukan sumbu koordinat x sama dengan 3 daerahnya.

Ini saya gambarkan dengan garis merah seperti ini, ini adalah sumbu putarnya.

Kemudian kita gambarkan daerah yang dibatasinya, daerah tersebut adalah dibatasi oleh y sama dengan x kali 2 min x

ini adalah sebuah parabola yang membuka ke bawah dan melalui 0 dan 2.

Dan kemudian dibatasi oleh sumbu x berarti dibatasi ini jadi yang kita dapatkan adalah daerah yang kita arsir ini.

Daerah ini akan diputar terhadap sumbu ini, lagi-lagi pertanyaannya adalah kita mau taruh delta x nya disebelah mana?

Daerah partisinya seperti apa? Apakah partisinya sejajar dengan sumbu putar atau tegak lurus dengan sumbu putar?

Kalau kita pakai yang tegak lurus dengan sumbu putar mungkin akan jadinya cakram yang bentuknya mungkin lebih sederhana untuk kita hitung.

Namun batas dari partisinya yang akan kita bahas volume nya, luas area dari yang akan kita putar tadi jadi gak sederhana

sebab harus dibatasi oleh y yang ini dikurangi dengan y yang ini.

Saya sendiri tidak terlalu nyaman kalau misalkan bekerja dengan yang bentuk seperti itu,

jadi saya lebih memilih untuk mengambil partisinya yang sejajar dengan sumbu putar seperti itu.

Dan kalau kita putar seperti ini maka kita akan dapatkan sebuah bentuk yang tipis seperti ini, tabung yang tipis seperti ini.

Dan seperti biasa akan kita gunting dan kita buka menjadi sebuah balok yang berbentuk seperti ini, kulit tabung yang berbentuk seperti ini.

Nah disini mungkin kita harus sedikit berhati-hati.

Oke mari kita lihat, yang pertama disini kita lihat bahwa lebarnya, lebar dari ini adalah delta x itu lebarnya, lebar partisi ini.

Kemudian tingginya, tingginya gampang, tingginya itu tidak lain adalah fungsi ini.

Berarti kita punya dia adalah x di k dikali dengan 2 dikurangi dengan x k gitu.

Dan kita harus mengalikan dia dengan panjang ini, dan panjang ini adalah keliling dari ini.

Ingat sumbu putarnya adalah ini, berarti jari-jarinya adalah ini.

Nah x k itu adalah dari sini ke sini, itu x k nya.

Berarti jari-jarinya adalah 3 dikurangi x k.

Jadi kita harus kali disini dengan 3 dikurangi x k, itu jari-jarinya, kemudian dikali dengan 2 p.

Dan dengan begitu kita jumlahkan keseluruhannya dari 1 sampai n, ambil limitnya untuk n menuju tahingga, maka dia tidak lain adalah integral.

2 p nya bisa keluar dari sini, integral, batas integrasinya dari 0 sampai 2.

Kemudian saya punya disini 3 kurang x kali x kali 2 min x dx.

Sedikit lebih rumit, tapi kita bisa hitung integralnya apa.