Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas mengenai volume benda putar sebagai aplikasi integral dalam Kalkulus 1. Penjelasan dimulai dengan contoh perhitungan volume objek yang diputar terhadap sumbu x. Metode perhitungan volume menggunakan integral dengan mempertimbangkan dua cara, yaitu metode cakram dan metode kulit tabung, tergantung pada letak partisi terhadap sumbu x atau sumbu y. Metode cakram menghitung jumlahan dari cakram-cakram, sementara metode kulit tabung menghitung tabung dengan ketebalan yang semakin tipis.

Sebagai aplikasi yang kedua kita akan menghitung apa yang kita kenal dengan volume benda putar.

Jadi kita akan menghitung volume dari sebuah objek yang kita dapatkan dengan cara memutar sebuah area,

sebuah daerah yang di konstruksi sebelumnya terhadap sebuah subuh putar tertentu.

Dalam salah ini saya akan langsung masuk ke contoh saja,

misalkan saya punya y sama dengan x kawadrat sebagai pembatasnya dan x sama dengan y kawadrat,

maka saya akan dapatkan sebuah daerah tertutup yang berbentuk seperti ini.

Dan untuk sementara kita akan sebagai contoh yang pertama akan diputar terhadap subuh x, seperti itu.

Jadi ini subuh x, kita akan putar terhadap subuh x, seperti itu ya.

Kita akan putar ke sini, jadi kita akan dapatkan kira-kira mappingnya, nah seperti itu.

Kita dapatkan mangkuk yang berbentuk seperti ini dan agak tebal, seperti itu.

Sama yang kita akan lakukan sekarang adalah oke yang pertama menentukan dulu batas-batasnya,

disini kita tahu bahwa kalau kita menyamakan ini kita dapat mengganti,

kita akan dapatkan disini x nya sama dengan 0 dan disini x nya sama dengan 1,

Kalau kita hitung solusi dari persamaan ini.

Oke, kalau kita sudah dapatkan seperti ini maka yang kita lakukan sekarang adalah menggambar daerah,

kalau kita mau putar terhadap subuh x, kita bisa menggambar dua buah bentuk partisi.

Bentuk partisi yang pertama saya gambarkan dalam bentuk seperti ini, yang merah seperti ini.

Dan kalau saya ambil yang merah ini, saya keluarkan disini,

kemudian saya putar terhadap subuh x, maka saya akan dapatkan sebuah cakram tipis seperti ini,

yang berbentuk seperti itu, di mana bagian ini adalah cakram yang ini.

Setelah itu diputar terhadap subuh x, ini adalah subuh putarnya, seperti itu.

Nah mari kita pikirkan sekarang berapa volume dari cakram ini.

Dan tentunya kita tahu disini lebarnya adalah delta x,

jadi sudah tahu pasti harus dikali dengan delta x.

Nah disini kita lihat bahwa cakram ini terdiri dari dua bagian,

kita bisa lihat dia sama dengan volume dari tabung besar seperti ini,

dikurangi dengan tabung kecilnya, kira-kira seperti itu.

Jadi kita dapatkan tabung besarnya seharusnya adalah pi dikali dengan jari-jari ini.

Dan jari-jari ini tidak lain adalah tinggi ini.

Karena kita harus menuliskan j sama dengan sesuatu,

Jadi saya akan dapatkan dia adalah pi dikali dengan akar x,

kemudian dikuadratkan dan dikurangi dengan bagian yang kecilnya.

berarti disini saya punya xk kuadrat, kemudian dikuadratkan kembali.

Kita jumlahkan keseluruhannya dari 1 sampai n,

kemudian ambil limitnya untuk n menuju tahingga,

maka kita kenali dia sebagai integral pi,

tidak tergantung dari x, tidak tergantung dari n, dari k maupun dari n,

dari akar x kalau dikuadratkan menjadi x,

kalau ini kita hitung integralnya adalah setengah x kuadrat,

dan dari situ kita dapat hitung hasilnya adalah setengah dikurang 1 per 5,

Alternatif lain adalah kita sekarang dapat menggambarkannya menjadi daerah seperti ini,

dan kalau daerah seperti ini kita putar terhadap sumbu x,

maka lagi-lagi saya akan dapatkan seperti tabung ini,

kalau tabung yang ini Anda lihat bahwa dia memiliki ketebalan yang cukup besar,

dan kalau delta x-nya dibuat menuju ke 0,

maka justru ketinggiannya yang menjadi semakin tipis, itu saja.

tinggi ya, delta y-nya kita buat menuju 0,

justru tabung ini bukannya semakin tebal tapi semakin tipis,

jadi jauh lebih mudah kalau kita memotong tabung ini pada daerah sini,

kemudian membukanya menjadi sebuah balok tipis seperti itu.

Dan dari sini kita bisa lihat bahwa panjang lebar ini,

jadi kalau misalkan ini adalah delta y di sini,

maka saya punya keliling ini adalah 2pi dikali dengan delta y,

dan sekarang saya ingin melihat berapa panjang ini,

saya dapat hitung bahwa volume ini tentunya adalah panjang kali lebar kali tinggi,

dan saya ambil limitnya untuk n menuju tahinga.

Dan dari sini saya kenali dia sebagai integral,

dari y dikali dengan akar y minus y kuadrat dy.