Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas aplikasi fungsi bernilai vektor dalam memodelkan gerak kurvilinear partikel di bidang. Persamaan gerak partikel pada lintasan lingkaran dengan jari-jari satu dianalisis, di mana vektor posisi dan kecepatan selalu tegak lurus. Dari sini, disimpulkan bahwa vektor percepatan merupakan kelipatan dari vektor posisi. Konsep ini diperkuat dengan perhitungan dot product antara vektor posisi dan kecepatan. Kesimpulannya, partikel bergerak mengelilingi lingkaran dengan percepatan konstan yang berlawanan arah dengan vektor posisinya. Penelitian lebih lanjut dilakukan untuk mengetahui apakah konsep yang sama berlaku tanpa menyertakan persamaan eksplisit.

Kalkulus untuk fungsi bernilai vektor itu memiliki aplikasi yang sangat banyak terutama untuk memodelkan gerak dari sebuah partikel di bidang atau di ruang.

Dan hari ini kita mau melihat sebuah contoh tentang gerak dari sebuah partikel.

Dan untuk sederhananya yang pertama kita lihat dulu kalau gerakan partikel ini di R2 saja di bidang

dan persamaan geraknya atau persamaan vektornya itu sebagai berikut.

RT adalah cosinus T I plus sinus T J dimana T nya berada pada gotaril.

Jadi vektor RT ini menyatakan posisi dari sebuah partikel pada saat T tertentu.

Dan kalau kita lihat dari sini kesimpulan kita adalah kalau ini kita notasikan dengan mengingat bahwa I adalah vektor arah pada arah X

dan J adalah vektor arah pada arah Y maka kita dapat simpulkan persamaan ini tidak lain adalah XT sama dengan cosinus T

dan YT adalah sinus T untuk T anggota bilangan real.

Dan dengan mudah kita dapat melihat bahwa kita punya persamaan yang identitas tepatnya yang mengkaitkan antara cos dan sin

yaitu cos2t ditambah dengan sin2t sama dengan 1.

Berarti dengan demikian kita dapatkan di sini bahwa X2t plus Y2t sama dengan 1.

Dan ini tidak lain adalah persamaan lingkaran ini berlaku untuk setiap T.

Ini tidak lain adalah persamaan lingkaran jadi dapat kita simpulkan bahwa sepanjang waktu T

kita tahu bahwa partikel tersebut akan berada pada lintasan yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari satu.

Dan kalau Tnya sama dengan 0 kita lihat ini bernilai 1 sinus bernilai 0 berarti dia akan ada di sini.

Dan pada saat Tnya bergerak menjadi positif kita tahu bahwa partikel ini akan bergerak ke arah sana

sehingga saya beri tanda panah di sini untuk menyatakan gerakan dari partikel ini.

Perhatikan bahwa partikel ini bergerak secara periodik jadi setelah waktu 2P

Dimanapun kita berada setelah waktu 2P dia akan kembali pada posisi yang sama.

Kalau kita lihat R aksen dari formula ini kita tahu bahwa R aksen adalah minus sin T I plus cos T J seperti itu.

Dan lagi-lagi kita bisa dapatkan di sini kalau misalkan R aksennya ini kita tulis sebagai X aksen T

tentu dia adalah minus sin T dan Y aksen T itu juga adalah cos T, Tnya anggota bilangan real.

Lagi-lagi kita lihat bahwa X aksen kalau kita kuadratkan ditambah dengan Y aksen kalau kita kuadratkan

Dengan demikian kita tahu di sini bahwa faktor kecepatannya itu tetap berada pada lingkaran yang kurang lebih sama seperti itu.

Dari kedua hal ini yang dapat kita simpulkan adalah X kuadrat ditambah Y kuadrat sama dengan 1

itu sama dengan mengatakan bahwa panjang faktor R itu selalu sama dengan 1.

Sedangkan di sini itu sama dengan mengatakan bahwa R aksen itu selalu sama dengan 1.

Jadi partikel yang bergerak menurut lintasan cos T I plus sin T J ini adalah sebuah partikel yang sepanjang geraknya

jarak ke titik 0,0 nya itu selalu konstan sama dengan 1.

Dan bukan hanya itu saja bahwa dia juga bergerak dengan laju yang konstan sama-sama dengan 1.

Nah kemarin waktu kita memiliki fungsi bernilai faktor 2 buah fungsi bernilai faktor misalkan UT dan VT

maka kita dapat menghitung dot product dari kedua fungsi ini.

Jadi ini dan kemudian kalau saya hitung turunannya aksen di sini berlaku aturan yang persis sama dengan aturan Leibniz

Jadi saya bisa hitung ini sebagai U aksen dikali dengan V ditambah dengan U dikali dengan V aksen seperti itu.

Nah kita akan gunakan ini kita akan gunakan sifat ini pada bentuk ini.

Dengan mengingat bahwa kalau saya kuadratkan ini masih tetap sama.

Dengan demikian R posisi panjang posisi kuadrat itu dapat saya tulis sebagai R dot R ini harus sama dengan 1.

Dan saya dapat menurunkan ini kalau saya turunkan ini maka saya hitung R dot R aksen 1 kalau saya turunkan hasilnya adalah 0.

Dan kalau saya hitung ini berdasarkan formula ini saya harus dapat R aksen di dot dengan R plus R di dot dengan R aksen.

Tapi karena dot product itu komutatif saya boleh balik ini.

Dengan demikian ini sama dengan ini jadi ini dapat disederhanakan menjadi 2 kali ini sama dengan 0.

Berarti saya dapatkan disini bahwa R aksen di dot dengan R sama dengan 0.

Artinya kalau saya punya vektor posisinya maka vektor kecepatannya selalu tegak lurus dengan vektor posisinya.

Jadi kalau misalkan kita lihat ini lintasannya harus selalu berada pada lingkaran ini.

Jadi kalau sekarang partikel tersebut ada di sini maka vektor posisi R T itu adalah yang ini.

Ini adalah R T nya dan kita tahu bahwa R aksennya itu harus tegak lurus.

Nah jadi dia harus tegak lurus berarti sana tebakan saya.

Kenapa ke sana? Karena saya tahu bahwa gerakannya memutarnya berlawanan arah jarum jam.

Tapi ini mengatakan bahwa panjang dari R aksen itu juga harus sama dengan 1.

Berarti dia dan persamaannya juga tetap mengatakan bahwa dia ada pada lingkaran yang sama.

Jadi saya harus mengambil kurang lebih yang sejajar dengan vektor ini di sini dan menariknya ke sini.

Jadi kalau saya pindahkan vektor kecepatan ini ke titik 0,0 maka inilah vektor kecepatannya.

Nah permainan yang sama seperti ini itu dapat saya terapkan di sini.

Karena saya tahu R lajunya selalu konstan sama dengan 1.

Jadi kalau saya kuadratkan di sini saya dapatkan juga di sini bahwa R aksen di dot dengan R aksen ini harus sama dengan 1.

Kalau kita turunkan kita dapat R double aksen dikali dengan R aksen plus R aksen yang ini dikali dengan R double aksen harus sama dengan 0.

Lagi-lagi saya dapatkan formulasi yang sama.

Jadi dengan kata lain saya punya bahwa R double aksen dikali dengan di dot produk dengan R aksen ini juga harus sama dengan 0.

Kesimpulannya bahwa R double aksen harus selalu tegak lurus dengan R aksen.

Jadi saya punya sebuah vektor R dan kemudian kecepatannya harus tegak lurus dengan vektor kecepatan.

Kemudian saya dapatkan lagi bahwa R aksennya ini juga harus tegak lurus dengan R double aksen.

Jadi kesimpulan saya R double aksen haruslah merupakan kelipatan dari R.

Karena kalau ada di bidang saya nggak bisa punya yang lain lagi vektornya.

Kalau ada di ruang mungkin saya bisa punya ini tegak lurus, ini tegak lurus, ini juga tegak lurus.

Tapi kalau di bidang kalau ini tegak lurus, ini tegak lurus dengan ini.

Lalu saya punya vektor lain yang tegak lurus juga dengan yang ini.

Mau tidak mau vektor yang baru tadi harus merupakan kelipatan dari R aksen.

Jadi saya dapatkan seperti ini bentuknya.

Kemudian sekarang kita perhatikan bentuk ini.

Kita tahu sekarang bahwa R aksen dikali dengan R itu sama di dot dengan R itu harus sama dengan 0.

Mari kita simpulkan apa yang sudah kita lakukan tadi.

Jadi yang pertama tadi dari sini kita tahu bahwa partikel tersebut...

harus bergerak pada sebuah lintasan yang berbentuk lingkaran seperti itu.

Dan ini sama dengan mengatakan bahwa panjang dari vektor R itu harus selalu sama dengan 1.

Karena kebetulan lingkarannya berjadi-jadi 1.

Kemudian itu mengatakan bahwa pada saat T tertentu posisi partikel tersebut ada di sini.

Nah kemudian untuk T tersebut kita juga bisa memperlihatkan bahwa panjang dari R aksen itu juga sama dengan 1.

Dan dari kedua ini kita bisa mendapatkan dari yang pertama tadi kita bisa mendapatkan bahwa R selalu tegak lurus dengan R aksen.

Karena hasil dot produknya sama dengan 0.

Dari sana yang membuat kita bisa menyimpulkan bahwa saya akan punya sebuah vektor yang panjangnya sama, tetap sama dengan 1.