Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas aplikasi persamaan diferensial order 2 dengan koefisien konstan pada masalah pegas masa. Dengan menganalisis persamaan karakteristik, terdapat 3 kasus yang dibahas, di antaranya ketika mu kuadrat lebih besar dari 4k. Solusi pada kasus ini akan berbentuk decaying menuju ke 0, sehingga pegas tidak bergetar jika redamannya besar. Kasus lainnya adalah ketika mu kuadrat sama dengan 4k, di mana solusi akan didominasi oleh suku tertentu terlebih dahulu sebelum teredam. Sedangkan pada kasus ketika mu kuadrat lebih kecil dari 4k, solusi akan memberikan osilasi tanpa redaman yang signifikan. Dengan memahami kasus yang sesuai, kita dapat memahami perilaku solusi yang dihasilkan.

Sekarang kita akan mengaplikasikan apa yang kita sudah dapatkan tadi...

...untuk persamaan difrensial order 2 dengan koefisien konstan...

...pada masalah yang pertama kali kita ungkapkan di depan tadi...

...yaitu masalah pegas masa yang kemudian melibatkan sukur daman seperti itu.

Nah, dengan sedikit kerja keras dan mengasumsikan M nya sama dengan 1...

...kita akan dapat menuliskan persamaan difrensial berdasarkan hukum Newton tadi...

...di dalam bentuk umum yang kita punya seperti tadi...

...yaitu x double prime plus mu kali x prime plus kx sama dengan 0.

Dan tentunya kita dapat hitung persamaan karakteristiknya...

...kita akan dapatkan seperti ini dan seperti tadi kita akan dapatkan 3 kasus...

...kasus yang pertama, kasus yang kedua dan kasus yang ketiga seperti itu.

Kalau kasus yang pertama itu adalah kalau mu kwadrat dikurangi dengan 4k positif.

Mu kwadrat itu jauh lebih besar daripada 4k.

Jadi dengan kata lain ini sukur damannya akan mendominasi pegasnya.

Dan dalam kasus seperti itu kita akan dapatkan bahwa akar dari persamaan karakteristiknya...

...adalah lambda 1 2 yang sama dengan bentuk seperti ini.

Ini adalah minus mu plus minus akar dari mu kwadrat kurangi sesuatu.

Kalau sesuatu ini tidak ada maka ini adalah mu kwadrat.

Tapi karena ini ada sesuatu berarti ini lebih kecil dari mu kwadrat.

Kalau ini lebih kecil dari mu kwadrat akarnya akan lebih kecil dari mu.

Akibatnya minus mu plus sesuatu yang lebih kecil dari mu positif dia akan negatif.

Apalagi kalau minus mu minus sesuatu yang positif pasti negatif.

Jadi kita akan punya kedua akarnya negatif.

Jadi kita akan mempunyai kombinasi dari e pangkat lambda 1t dan e pangkat lambda 2t...

Jadi tidak heran solusinya akan berbentuk seperti yang hijau ini.

Kita mulai dari initial condition tertentu waktu t nya sama dengan 0.

Dan kemudian e pangkat negatif itu adalah decaying menuju ke 0.

Semuanya akan menuju ke 0 sehingga getarannya akan buat seperti itu.

Jadi kalau redamannya terlalu besar saya beri pegasnya simpangan awal seperti itu...

...dan saya lepas maka pegas itu tidak sempat bergetar.

Nah ini adalah kondisi yang ideal untuk shock breaker mobil.

Jadi begitu ada getaran ada simpangan yang diberikan...

...dengan cepat pegas itu akan meredam semuanya sehingga tidak terjadi getaran seperti itu.

Bagaimana dengan kasus yang mu kwadrat minus 4K sama dengan 0?

Kalau seperti itu kita akan punya bentuk solusi yang seperti ini.

Lagi-lagi solusinya akan didominasi oleh ini.

Tetapi kita punya suku A T plus B dan T mungkin membesar terlebih dahulu.

A T ini membesar tapi akan selalu kalah dengan E pangkat minus mu per 2T.

Jadi dengan kata lain saya bisa saja mempunyai kasus di mana dia seperti naik dulu...

...karena A T nya membesar, naik dulu tapi kemudian akhirnya E pangkat minus mu per 2T nya akan mendominasi.

Atau kalau A nya negatif dia akan seperti turun dulu terus kemudian baru menuju ke 0.

Jadi kalau shock breaker mobil ini mungkin seperti kalau mobilnya udah agak tua.

Kalau udah agak tua maka kondisinya mungkin udah mulai imbang mu nya udah tidak sekuat yang sebelumnya.

Jadi pegas itu akan seperti begitu dibuka seperti ini dia sempat naik dulu...

...tapi terus kemudian teredam lagi dengan baik seperti itu.

Nah yang parah adalah kalau mu kuadrat minus 4K nya kecil sekali.

Kalau redamannya sangat kecil maka solusinya akan berbentuk seperti ini.

Omega nya bisa kita hitung seperti dengan formula yang tadi sudah saya berikan di depan seperti itu.

Gak ada apa-apa lagi yang lain selain osilasi.

Dan ini memberikan kepada saya sebuah decaying amplitude.

Jadi saya seperti punya dua buah fungsi seperti ini.

Yang ini adalah e pangkat minus mu per 2T dan ini di sini adalah minus e pangkat mu per 2T.

Dan getarannya akan berpindah dari sini ke sana seperti itu.

Semakin lama akan semakin teredam dengan baik.

Semakin lama akan semakin ini tapi sempat bergetar cukup lama.

Ini adalah salah satu contoh mengaplikasikan teori yang sudah kita bangun terlebih dahulu.

Kalau kita bekerja dengan spesifik contoh yang benar-benar spesifik.

Di mana nilai mu nya kita ketahui, nilai K nya juga kita ketahui.

Maka kita tinggal membedakan kita sedang ada di kasus mana untuk mengerti perilaku dari solusinya.