Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas penghitungan integral dari f xy sama dengan 1-6x2y untuk daerah integrasi persegi. Penting untuk menggambarkan daerah integrasi terlebih dahulu agar dapat menentukan cara penghitungan integralnya. Terdapat dua kemungkinan pendekatan, yaitu menghitung terhadap x terlebih dahulu atau terhadap y terlebih dahulu. Setelah dilakukan perhitungan, hasil integral dari kedua pendekatan tersebut ternyata sama.

Sebagai sebuah contoh, kita akan menghitung integral dari f xy sama dengan 1-6x2y

Jadi pertama-tama setiap kali kita menghitung integral seperti ini,

maka sebaiknya kita menggambarkan daerah integrasinya.

Dengan demikian kita tahu di mana kita harus bekerja.

Ini dari 0 sampai 2, kemudian jadi ini 0 sampai 2,

dan kemudian integral Y-nya dari minus 1 sampai 1,

berarti saya akan menghitung pada daerah seperti ini.

Nah, jadi yang mau saya hitung sekarang adalah double integral pada sebuah daerah R,

Nah ini adalah notasi, notasi untuk menyatakan saya menghitung double integral dA ini

adalah dx dy atau dy dx seperti itu, dan R adalah daerah yang kita integralkan.

Nah, untuk menghitung integral seperti ini kita harus menentukan terlebih dahulu

apakah kita mau menghitung integralnya terhadap x terlebih dahulu baru terhadap y,

atau terhadap y terlebih dahulu baru terhadap x.

Jadi yang akan kita lakukan di sini adalah menghitung integral dari 1-6x2y dx dy.

Kemungkinan yang kedua adalah kita menghitung double integral dari 1-6x2y dy dx.

Nah, kalau kita menghitung integral terhadap x terlebih dahulu

berarti kita akan menarik garis sejajar sumbu x terlebih dahulu, seperti itu.

Ini adalah daerah atau garis yang pertama kali dipotong

ketika kita menarik garis sejajar dengan sumbu x.

Jadi daerah ini itu adalah x sama dengan 0, makanya kita akan mulai dari x sama dengan 0

dan ini adalah garis yang terakhir dipotong ketika kita menarik garis ini, jadi dari 0 sampai 2.

Dan setelah itu, setelah kita mengintegralkan ke sini

berarti yang tersisa adalah y, kita seperti memproyeksikan daerah ini pada sumbu y, seperti itu.

Kita lihat berarti akan mulai dari minus 1 sampai 1.

Kebalikannya, kalau kita menghitung integralnya terhadap y terlebih dahulu

berarti kita seperti menarik garis sejajar dengan sumbu y.

Pertama kali memotong ada di sini, yaitu y sama dengan minus 1.

Kemudian kedua kali memotong ada di atas, di 1.

Dan setelah itu kita proyeksikan ke sumbu x, maka integralnya dari 0 sampai 2.

Baik, kita coba hitung integralnya kalau memang seperti ini, berarti terhadap x terlebih dahulu

kita perlakukan semua y sebagai konstanta.

Jadi integral dari minus 1 sampai 1, integral dari 1 terhadap x adalah x.

Kemudian integral ini adalah 2x mangga 3 kali y.

Jadi seakan-akan y-nya ini konstanta dari 0 sampai 2 dy, seperti itu.

Dan kita tinggal melanjutkan sekarang kalau kita substitusi,

maka ini akan memberikan pada kita 2 dan ini 8, 16.

Jadi kita sama dengan menghitung integral dari minus 1 sampai 1, 2 dikurangi 16 dy.

Kalau dengan cara yang kedua, kita akan menghitung semua yang mengandung x,

kita anggap konstan, berarti kita akan bekerja dengan integral dari 0 sampai 2.

Satu, kalau kita integralkan terhadap y, akan kita dapatkan y.

Kemudian ini kalau kita hitung integralnya terhadap y,

kita akan dapat minus 3x kuadrat y kuadrat dx, seperti itu.

Dan batas integralnya dari minus 1 sampai 1.

Kalau kita hitung, ini tidak lain adalah integral dari 0 sampai 2,

Dan dapat diperlihatkan dengan mudah bahwa hasil ini dengan hasil ini adalah sama.