Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas cara mencari nilai maksimum dan minimum fungsi 2-peubah dengan metode Lagrange pada titik-titik pada lingkaran x² + y² = 1. Terdapat dua cara perhitungan, pertama dengan fungsi 1-peubah dan kedua dengan metode Lagrange. Metode Lagrange melibatkan persamaan gradient f = lambda * gradient g, dengan constraint x² + y² = 1. Langkah-langkahnya termasuk menyelesaikan sistem persamaan untuk menemukan titik-titik maksimum dan minimum.

Kali ini kita akan mencari nilai maksimum dan minimum dari sebuah fungsi 2-peubah fx,y

Tapi kita tidak mencari nilai maksimum atau minimumnya di seluruh bidang R2

tetapi hanya pada titik-titik pada lingkaran x² tambah y² sama dengan 1.

Saya akan memperlihatkan 2 cara untuk kita menghitung ini.

Cara yang pertama adalah dengan menggunakan fungsi 1-peubah.

Dengan mengingat karena kita punya x² plus y² sama dengan 1

maka saya bisa mendapatkan di sini bahwa y itu sama dengan plus minus akar dari 1 dikurangi x²

dan perhatikan bahwa x nya itu harus sama dengan harus lebih kecil dari 1 dan lebih besar dari minus 1

sebab di luar ini x nya tidak akan terdefinisi gitu ya.

Jadi dengan kata lain permasalahan ini akan menjadi akan dapat ditransformasikan menjadi 2 buah persamaan.

Yang pertama cari nilai maksimum dan minimum dari f1x yaitu apa?

3x plus 4 dikali dengan akar dari 1 minus x² dengan x.

Nah ini kita tinggal menggunakan kalkulus 1 untuk menghitung cari titik stasionernya

kemudian periksa ujung-ujungnya kebetulan fungsi ini tidak memiliki titik singular

jadi tidak ada masalah kita dapat hitung kita dapat selesaikan soal ini ya.

Nah singularnya mungkin di titik ujung di titik satunya ini

tapi dia sudah muncul sebagai titik ujung jadi tidak ada masalah

dan kemudian kita harus juga hitung fx2 di sini yaitu 3x minus 4 dikali dengan 1 minus x².

Nah pada daerah ini untuk ini nilai maksimum dan nilai minimum yang saya dapat di sini

harus saya bandingkan dengan yang di sini dan yang paling besar dari antara keduanya

itulah yang akan menjadi nilai maksimum dan yang paling kecil akan menjadi nilai yang minimum.

Saya percaya kita bisa melakukannya gitu tapi tidak menyenangkan.

Karena sekarang kita akan terlibat dengan turunan dari akar satu per demikian.

Sehingga ini walaupun cara ini dapat dilakukan tapi mungkin tidak terlalu menyenangkan untuk kita lakukan.

Nah alternatif kedua adalah dengan menggunakan teknik yang kita sudah bangun

ketika kita membahas fungsi dua keubah yaitu apa yang dinamakan

dengan maksimum dan minimum berkendala atau metode Lagrange.

Jadi persoalan ini tidak lain adalah maksimumkan atau mencari maksimum atau minimum

dari f x, y yang sama dengan 3x ditambah 4y dengan constraint subject to x2 ditambah y2 sama dengan 1.

Nah untuk menyelesaikan ini kita gunakan metode pengalilah Lagrange.

Maka yang kita hitung adalah dou f dou x harus sama dengan lambda dikali dou g dou x.

Dou f dou y harus sama dengan lambda dikali dengan dou g dou y.

Ini tidak lain adalah gradient f sama dengan lambda dikali dengan gradient g.

Dari persamaan yang pertama kita akan dapatkan dou f dou x itu adalah 3 sama dengan lambda

Kemudian dari sini kita dapatkan 4 sama dengan lambda dikali dengan 2y.

Kita bisa melihat dari sini bahwa lambda itu haruslah sama dengan 3 per 2x.

Kemudian kita bisa substitusikan ini ke dalam sini.

Sehingga kita dapatkan 4 harus sama dengan 6y dibagi dengan 2x.

Dan dari sini saya bisa dapatkan ini tinggal 3.

Berarti saya punya di sini 4x sama dengan 3y.

Dan kalau saya substitusikan ini ke dalam sini maka saya akan dapatkan titik-titiknya.

Saya akan bisa dapatkan titik-titik yang saya perlukan.

Dan dari hasil tersebut saya tinggal memeriksa nilai f nya berapa.