Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas cara menentukan persamaan garis di ruang tiga dimensi (R3) melalui vektor arah dan vektor konstan. Penting untuk menentukan vektor arah dan vektor konstan dari garis yang melalui titik-titik tertentu. Persamaan parametrik dari garis tidaklah unik, bisa direpresentasikan dengan berbagai cara selama vektor konstan awalnya tetap. Meskipun vektor arahnya sama, garis akan berbeda jika vektor konstan awalnya berubah, namun garis sejajar. Jadi, untuk mendapatkan garis yang sama, vektor konstan awalnya harus tetap.

Sebagai contoh perhatikan soal berikut, tentukan sebuah persamaan garis yang melalui titik P ini dan titik Q seperti ini.

Nah oke lokasi aslinya P di mana, Q di mana mungkin gak terlalu penting ya.

Tapi yang pasti disini saya tahu misalkan ini titik P kemudian ini titik Q seperti itu ya.

Maka saya dapat menghitung vektor ini, vektor QP ini saya bisa hitung seperti ini.

Jadi vektor PQ disini itu dapat saya hitung dia pasti adalah 1 kurang min 3, 4.

Min 1 kurang 2, min 3 dan 4 kurang 1, min 1, 5.

Jadi untuk menghitung vektor PQ ini gampang ambil saja koordinat Q kurangkan dengan koordinat P.

Masing-masing jadi komponennya seperti itu ya.

Kemudian saya tinggal memilih ini tentu yang pangkalnya di 0,0 ini adalah vektor P sendiri.

Berarti dia adalah vektor min 3, 2 dan min 1.

Kita tahu jadi persamaan garisnya harusnya adalah XYZ sama dengan vektor ini min 3, 2, min 1

ditambah dengan T dikali dengan 4, min 3, 5 seperti itu ya.

Nah ini persamaan garis ini akan memberikan pada saya persamaan garis ini jadi koordinat XYZnya adalah seperti ini.

Jadi merupakan ini ditambah kelipatan dari vektor PQ ini.

Jadi benar-benar untuk menentukan persamaan garis yang kamu butuhkan adalah sebuah vektor konstanta.

Kemudian vektor arahnya seperti itu, selalu seperti itu.

Dan kalau kita sederhanakan ini lebih lanjut kita dapatkan X sama dengan minus 3 ditambah 4T.

Kemudian Y adalah 2 dikurangi 3T dan Z adalah min 1 plus 5T.

Dari sini saya bisa tuliskan bahwa T itu sama dengan X plus 3 per 4.

T juga sama dengan dari persamaan yang kedua adalah Y min 2 dibagi dengan min 3.

Dan T di sini saya bisa dapatkan adalah Z plus 1 per 5.

Jadi persamaan simetrisnya harusnya adalah X tambah 3 per 4 harus sama dengan Y kurang 2 per min 3.

Jadi dari contoh ini kata kunci yang penting adalah apa?

Tentukan vektor arahnya kemudian tentukan vektor konstantanya.

Sebelum kita lihat contoh yang berikutnya lagi perhatikan sekarang seperti ini.

Kalau saya misalkan menuliskannya bukan T di sini.

Saya bukan menuliskannya T di sini saya ganti T nya dengan sesuatu yang lain.

Misalkan di sini saya tulis XYZ sama dengan vektor arah yang sama min 3, 2 dan min 1.

Tapi sekarang T nya bukan saya pakai T yang saya pakai adalah 2T dikali dengan 4 min 3, 5 seperti itu.

Maka apa yang saya dapatkan di sini persamaannya minus 3, 2 min 1.

Kemudian perhatikan bahwa 2 ini bisa masuk ke dalam sehingga saya dapatkan T sama dengan 8 min 6 dan 10.

Vektor ini meskipun berbeda dengan vektor ini tetapi dia hanyalah kelipatannya.

Jadi inilah vektor yang arah yang baru ini kalau saya sebut dia sebagai V2.

Maka V2 ini adalah vektor arah yang hijau ini.

Dan siapapun XYZ yang ada di sini tetap dapat saya tuliskan sebagai vektor ini ditambah kelipatan dari vektor ini.

Jadi dia tetap memberikan garis yang sama.

Dengan kata lain persamaan parametrik dari sebuah garis itu tidak unik.

Ada banyak sekali cara untuk merepresentasikannya.

Kalau Tnya diganti dengan 2T kamu dapat representasi yang lain.

Kalau Tnya kamu ganti dengan 3T dapat yang lain.

Tnya diganti dengan minus 5T kamu dapat yang lain.

Tapi semua masih merupakan persamaan garis yang sama.

Yang berbeda adalah kalau vektor arah ini asalnya ini itu saya ganti.

Saya kali dengan 2 misalkan 2 kali lipat.

Maka yang saya dapatkan adalah 2 kali lipat ini.

Jadi garis yang saya dapatkan adalah garis ini.

Meskipun garis yang ini arahnya tetap sama.

Jadi fungsi dari vektor konstan ini adalah untuk menggeser garis tersebut di R3.

Jadi seperti misalkan arahnya peki ini saya dapatkan sebuah arah yang ini.

Nah vektor konstannya ini arahnya adalah untuk menggeser dia ke tempat yang kita mau.

Tapi arahnya tetap harus seperti ini atau seperti ini.

Jadi dari contoh ini apa yang bisa kita pelajari?

Kalau vektor arahnya kita ganti dengan kelipatannya.

Maka saya masih mendapatkan garis yang sama selama vektor konstan awalnya tidak berubah.

Tetapi kalau vektor konstan awalnya berubah.

Meskipun vektor arahnya sama saya akan mendapatkan garis yang lain.

Tetapi kedua garis tersebut yang vektor arahnya sama.

Garis yang vektor arahnya sama tetapi vektor konstannya berbeda akan sejajar.

Kedua garis akan sejajar tapi tidak sama.

Untuk mendapatkan vektor yang sama maka vektor awalnya harus sama.