Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas contoh soal daerah integrasi segitiga dengan persamaan x + y = 1. Terdapat dua cara untuk menghitung integral, yaitu terhadap x terlebih dahulu atau terhadap y terlebih dahulu. Dalam contoh ini, integral pertama dilakukan terhadap x, kemudian diproyeksikan ke sumbu y. Perhitungan integral menghasilkan 1/4 - 2/5 + 1/6. Jika integral dilakukan terhadap y terlebih dahulu, hasilnya tetap sama, yaitu 1/4 - 2/5 + 1/6.

Contoh yang sedikit lebih rumit barangkali,

kali ini daerah integrasinya tidak lagi berbentuk persegi seperti tadi,

sehingga kita dengan mudah dapat membalik kurutan pengintegralannya.

Sekarang daerah integrasinya berbentuk seperti segitiga seperti ini.

Dan segitiga ini melalui titik 0,1 dan 1,0,

kita tahu persamaannya adalah x ditambah y sama dengan 1, seperti itu.

Nah ada dua cara untuk menghitung integral ini,

yang pertama terhadap x terlebih dahulu baru kemudian terhadap y,

atau terhadap y terlebih dahulu baru terhadap x.

Misalkan yang pertama dulu kita akan mengintegralkan terhadap x terlebih dahulu,

berarti langkah yang harus kita lakukan adalah menarik garis yang sejajar dengan sumbu x.

Perhatikan bahwa daerah tersebut dipotong pertama kali itu di daerah sini.

Kemudian dia akan memotong kedua kali di sini.

Jadi kita harus menuliskan x sama dengan sesuatu.

Dan tentunya dari bentuk ini kita lihat sama dengan 1 dikurangi y.

Kemudian kalau sudah kita integralkan terhadap x,

kita proyeksikan terhadap menuju ke sumbu y,

maka integralnya itu akan berlangsung dari sini sampai sini.

Dan kita tinggal melakukan perhitungan sekarang.

Ini sama dengan integral dari 0 sampai 1.

Integral ini terhadap x adalah x kuadrat y pangkat 3

Berarti ini sama dengan integral dari 0 sampai 1.

Kemudian kalau kita substitusi x kuadrat kita punya 1 minus y kuadrat.

Kemudian dikali dengan y pangkat 3 sehingga kita dapat di sini y pangkat 3.

Kemudian di sini y pangkat 5 dan di sini dy.

Satu step lagi kita dapat hitung integralnya adalah 1 per 4 y pangkat 4

minus 2 per 5 y pangkat 5 plus 1 per 6 y pangkat 6 dari 0 sampai 1.

Jadi sama dengan 1 per 4 kurang 2 per 5 tambah 1 per 6.

Sedangkan kalau kita melakukan integrasinya terhadap y terlebih dahulu

maka yang kita lakukan adalah menarik garis sejajar dengan sumbu y.

Berarti pertama kali dia memotong adalah di y sama dengan 0.

Nah pada segi 3 ini karena ini adalah batas untuk y kita harus tuliskan y sama dengan sesuatu.

Dan lagi-lagi kita dapatkan di sini 1 minus x.

Jadi kita lihat bahwa batas integrasinya adalah ini.

Dan seperti tadi ini tinggal kita selesaikan dan hitung integralnya dan hasilnya harus sama.