Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas contoh soal terkait limit fungsi 1 plus 2 per x pangkat x ketika x menuju tak hingga. Meskipun bentuknya tidak langsung f per g, namun dengan mengambil logaritma natural dari limit tersebut, kita dapat menerapkan teorema lopital. Dengan penulisan ulang sebagai z sama dengan 1 per x, kita dapat menemukan bahwa limitnya adalah e kuadrat. Jadi, hasil limit dari fungsi tersebut adalah e kuadrat.

Sebagai contoh yang kedua, perhatikan bahwa kita punya limit x menuju tahinga

Perhatikan kalau x nya menuju ke tahinga, maka 2 per x itu akan menuju ke 0.

Dan x akan menuju ke tahinga, berarti ini kurang lebih adalah bentuk 1 pangkat tahinga.

Lagi-lagi kita akan lihat sebuah kompetisi, 1 dipangkatkan berapapun hasilnya harus 1.

Tetapi berapapun kalau dipangkatkan x hasilnya harus tahinga atau 0.

Jadi ada kompetisi di situ tergantung dari kecepatan mana yang benar.

Tapi bentuknya, bentuk dari limit ini belum merupakan bentuk f per g.

Sehingga kita tidak dapat menerapkan teorema lopital secara langsung.

Nah bagaimana caranya kita mengerjakan soal seperti ini?

Kemudian kita ambil logaritma natural dari y.

Dan dia harusnya adalah limit dari x menuju tahinga dari logaritma natural dari 1 plus 2 per x pangkat x.

Nah perhatikan bahwa logaritma natural itu adalah sebuah fungsi yang kontinu.

Kalau dia adalah sebuah fungsi yang kontinu, maka logaritma natural dengan limit bisa ditukar.

Perhatikan bahwa limit kalau kontinu, f kontinu itu kan berarti xA adalah fx sama dengan fA.

Tapi ini juga dapat saya tulis sebagai f dari limit x menuju A dari x.

Jadi kalau f kontinu di A maka f dan limit boleh ditukar.

Kalau lon itu kontinu maka lon dan limit itu boleh ditukar.

Jadi sama dengan limit x menuju tahinga lonnya masuk ke dalam.

Dengan demikian saya dapatkan x dikali dengan lon 1 plus 2 per x seperti itu x menuju tahinga.

Dan ini dapat saya tulis menjadi per 1 per x seperti ini.

Nah dari sini kita dapat melakukan langsung.

Dapat kita terapkan teorema lopital di sini.

Tapi saya masih kurang suka untuk menerapkan teorema lopital di sini karena bentuknya masih sangat rumit seperti itu.

Jadi saya masih tuliskan sekarang y adalah 1 per x.

Jadi saya misalkan di sini z adalah 1 per x.

Nah kalau z adalah 1 per x, perhatikan kalau x menuju tahinga.

Maka jika x menuju tahinga maka z akan menuju ke 0 tapi dari kanan.

Mengapa? Sebab per 1 per x selalu positif.

Jadi limit ini dapat saya tulis menjadi limit x menuju tahinga tidak lain adalah limit z menuju 0 dari kanan.

Dari logaritma natural dari 1 plus 2y karena seper x adalah y dan ini adalah y.

Ini nyaman untuk kita hitung menggunakan lopital.

Jadi sama dengan dalam teorema lopital dia adalah limit z menuju 0 plus turunan dari ini adalah 1 per 1 plus 2z.

2z dikali 2 lalu dibagi dengan turunan z 1.

Dan kalau z menuju ke 0 ini akan 0 ini akan 2 jadi limitnya sama dengan 2.

Jadi yang saya tahu sekarang berdasarkan teorema lopital len y adalah 2.

Berarti y adalah e kwadrat karena len y adalah 2.