Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas contoh soal mengenai daerah integrasi seperempat lingkaran dengan fungsi fx,y berbentuk x² + y². Dalam penyelesaiannya, terjadi transformasi integral dari dx dy menjadi R dr dθ dengan batas integral dari 0 hingga 1 untuk R dan 0 hingga π/2 untuk θ. Transformasi ini memudahkan perhitungan integral menjadi pi/8, menunjukkan kelebihan penggunaan koordinat polar dalam menghitung integral fungsi dua peubah yang kompleks. Jadi, penggunaan koordinat polar dapat menyederhanakan perhitungan integral pada daerah-daerah tertentu.

Misalkan fx,y sekarang berbentuk seperti ini, x² ditambah dengan y²

dan daerah integrasinya adalah seperempat lingkaran dalam bentuk seperti ini.

Nah tentunya kita dapat melakukan menghitung integral ini entah terhadap x terlebih dahulu

tapi dalam contoh ini saya akan coba melakukannya terhadap y terlebih dahulu.

Jadi saya menarik garis sejajar dengan subu y seperti ini,

maka integrannya saya tulis di sini, enggak ada masalah, dy dx.

Pertama kali motong itu ada di y sama dengan 0, makanya batasnya di sini y sama dengan 0.

Kemudian batas keduanya adalah kedua kali motong di sini

dan saya harus menuliskan dia menjadi y sama dengan sesuatu.

Perhatikan ini adalah y² sama dengan 1-x²,

jadi y-nya adalah plus minus akar dari 1-x².

Perhatikan y-nya ada di daerah positif, bagian ini ada di daerah positif,

jadi bagian yang negatifnya tidak perlu kita include di sini,

maka batas integralnya cuma sampai di sini saja, makanya integral dari 0 sampai ini.

Kemudian kita tinggal proyeksikan ke sumbu x,

integral berikutnya batasnya dari 0 sampai 1.

Dan kalau kita hitung integral ini terhadap y,

berarti x-nya konstan saya akan punya suku x²y.

x²y kalau disubstitusi kita akan dapat x² dikali dengan ini dikurangi dengan x² kali 0,

0 hilang berarti tinggal ini kali ini, dari sinilah dapat suku yang ini,

x² dikali dengan ini sebab ada pengali y di sini.

Tapi bagian yang ini akan jadi 1 per 3 y pangkat 3,

dan itu sebabnya ketika disubstitusi 0 akan tetap 0, jadi yang ada hanya yang ini.

Emang dari situlah sumbernya 1-x² pangkat 3 per 2,

sebab di sini akar pangkat setengah, kemudian ini 1 per 3 y pangkat 3,

Dan Anda lihat bahwa integral ini mungkin tetap bisa kita hitung,

tapi susah, untuk menghitung ini sangat susah.

Jadi pertanyaannya sekarang adalah apakah ada cara lain untuk kita bisa menghitung integral ini,

terutama ketika daerahnya berbentuk khusus seperti ini.

Kita lihat, saya ulang gambar dari daerah integrasinya,

daerah integrasinya ini saya gambarkan dalam bentuk seperti ini sekarang.

Ini adalah lingkaran x² tambah y² sama dengan 1.

Nah, kalau misalkan menggunakan dx dan dy,

maka kita seperti membagi daerah integrasi ini menjadi bagian-bagian kecil seperti itu,

berdasarkan sejajar dengan sumbu-sumbu koordinatnya seperti itu.

Nah, kita juga ingat bahwa selain koordinat Cartesius, kita memiliki koordinat polar.

Dan koordinat polar itu terbagi menjadi R dan θ.

bukannya membagi kotak-kotak yang sejajar dengan sumbu seperti ini,

tapi saya bagi sesuai dengan sumbu-sumbu koordinat polar,

yaitu R saya bagi-bagi, maka dia akan menjadi daerah-daerah seperti ini.

Kemudian sudutnya, θ, juga saya bagi-bagi menjadi daerah seperti ini.

Nah, jadi kalau sekarang saya ambil satu bagian ini dan saya bawa keluar,

kalau daerahnya cukup kecil, maka ini mirip dengan persegi panjang biasa.

Saya tahu bahwa panjang ini gampang, delta R.

Yang saya belum tahu adalah panjang ini berapa.

Tapi panjang ini, ingat sudutnya ada di dalam radian.

Berarti kalau saya mau tahu panjang busur ini,

Perhatikan bahwa panjang ini, walaupun sudutnya sama-sama delta θ,

Jadi panjangnya bagian dari lingkaran yang berada di hadapan sudut delta θ,

itu juga tergantung dari jaraknya, tergantung dari R-nya.

Jadi di sini haruslah kita kali dengan R.

Berarti luasan daerah ini adalah R dikali dengan delta R, dikali dengan delta θ.

Ini luasannya, itu adalah luasannya di sini, dx dy-nya kira-kira seperti ini.

Nah, saya tinggal mentransformasikan F-nya di dalam R dan θ,

saya ambil limitnya untuk delta R menuju ke 0,

saya ambil juga limitnya untuk delta θ menuju ke 0.

Dengan demikian ini akan menjadi double integral dari F R dan θ R dr dθ.

Jadi seakan-akan dy dx itu ditransformasikan ke dalam koordinat polar menjadi R dr dθ.

Nah, tinggal menentukan batas untuk R dan θ-nya.

Perhatikan, sumbu R itu adalah mulai dari titik 0,0 keluar.

Jadi saya tarik saja sesuai dengan R-nya.

Dan garis ini adalah x² tambah y² sama dengan 1,

Sudutnya pertama kali di sini, 0 sampai ke pi per 2.

Untuk mendapatkan seluruh daerah saya harus menyapunya ke seluruh daerah ini.

Jadi ini 0 untuk mendapatkan seluruh daerah sampai pi per 2.

Jadi integral ini dari 0 sampai pi per 2.

Kalau kita coba hitung ini, maka yang kita dapatkan adalah apa?

Ini sangat mudah untuk kita hitung integralnya.

Integral dari R pangkat 3 adalah 1 per 4 R pangkat 4.

Kemudian kita substitusi batasnya dari 1 sampai 0, kita dapatkan 1 per 4.

Kemudian diintegralkan terhadap dθ, konstanta.

Berarti jadi dθ masukkan pi per 2 sampai 0, berarti pi per 2.

Jadi kita dapatkan 1 per 4 dikali dengan pi per 2 sama dengan pi per 8.

Jauh lebih mudah daripada menghitung integral ini.

Jadi hati-hati kalau kita berhadapan dengan fungsi dua peubah...

...dan kita mau menghitung integralnya, ada daerah-daerah tertentu...