Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas integral lipat dengan contoh soal yang menantang, di mana integral double seperti ini seringkali dianggap sebagai mimpi buruk karena melibatkan fungsi logaritma natural dan integral parsial. Soal ini sulit karena terdapat dua peubah, namun dapat diselesaikan dengan menggunakan koordinat polar untuk menggambarkan daerah integrasi. Dengan transformasi ke koordinat polar, integral yang kompleks tersebut menjadi lebih sederhana, memperlihatkan pentingnya mengenali batas-batas fungsi sebagai fungsi dari R sebelum mentransformasikannya.

Barangkali tidak terlalu berlebihan kalau saya katakan bahwa untuk menghitung integral,

double integral seperti ini, ini merupakan salah satu mimpi buruk yang parah sekali.

Pertama, kita terlibat dengan fungsi logaritma natural dan kita tahu bahwa menghitung integral

dari logaritma natural itu mewajibkan kita menggunakan integral parsial.

Nah, integral parsial itu hanya berlaku untuk fungsi yang satu peubah.

Di sini ada dua peubah, jadi sangat berbeda.

Mungkin kita bisa menganggap Y-nya konstan, oke, jadi saya akan punya fungsi dalam satu peubah, X doang,

tapi integralon dari X kuadrat kemudian melihat batas-batasnya

yang juga terletak mengandung akar plus minus dan lain sebagainya.

Menurut saya, ini soal yang terlalu sulit untuk kita lakukan seperti itu.

Ada dua pilihan, yang pertama kita bisa lewat, enggak usah kita kerjain,

atau kita coba dengan menggunakan koordinat polar.

Nah, kesulitannya sekarang kalau kita mau menggunakan koordinat polar adalah apa?

Kita harus bisa menggambarkan daerah integrasinya, itu yang sangat penting.

Grafik fungsi len dari X kuadrat tambah Y kuadrat plus satu,

kita tidak pernah perlu lakukan apapun dengan hal itu.

Yang perlu kita gambarkan adalah daerah integrasinya.

Jadi, itu yang akan kita lakukan sekarang.

Kita gambar daerah integrasinya, sumbu X, sumbu Y seperti ini.

Kemudian kita pelajari batasnya, yang pertama batasnya adalah untuk X.

Jadi, saya punya X sama dengan minus akar dari satu minus Y kuadrat.

Bagaimana cara menghilangkan akar ini? Kuadratkan.

Jadi, kita punya X kuadrat sama dengan satu min Y kuadrat,

atau X kuadrat plus Y kuadrat sama dengan satu.

Tetapi karena X-nya hanya di daerah yang negatif,

berarti saya tahu bahwa lingkaran yang dimaksud adalah hanya bagian yang negatif saja.

Nah, kemudian batas yang kedua adalah X fungsi yang sama,

tetapi tidak ada tanda min-nya, berarti bagian plus-nya.

Jadi, daerah yang dimaksud adalah lingkaran ini.

Kemudian, kalau saya sudah mengintegralkan terhadap X,

berarti yang saya sudah terhadap X, garis sejajar sumbu X,

saya proyeksikan ke sumbu Y, kemudian didapat dari minus 1 sampai 1.

Berarti dari sini, ini minus 1 sampai 1, keseluruhannya.

Jadi, integral ini adalah integral di seluruh daerah R sama dengan 1 di sini.

Baik, sekarang kalau begitu kita bisa mentransformasikan ini menjadi koordinat polar

dengan mengingat bahwa X kawadrat tambah Y kawadrat adalah R kawadrat.

Dengan demikian, ini adalah integral dari R kawadrat plus 1.

Kemudian, dx dy itu berubah menjadi R dr d teta.

Dari R, berarti kita tarik garis sejajar dengan sumbu R.

Mulai dari 0 keluar, berarti pertama kali dari 0 sampai 1.

Sudutnya kita lihat, mulai dari 0 supaya mencakup seluruh daerah harus sampai 2pi.

Nah, apakah sekarang integral ini dapat dihitung dengan mudah?

Sangat, karena kita tahu kalau U itu sama dengan R kawadrat plus 1,

Jadi dengan kata lain, integral ini dapat kita ubah menjadi integral dari 0 sampai 2pi.

Ini menjadi len dari U dan 2R dr ini cukup saya kalikan di sini dengan setengah.

Ini integral dari len U, R dr ini menjadi 2R dr,

karena setengahnya sudah ada di sini, maka saya punya ini menjadi du d teta.

Kemudian, kalau R sama dengan 0, maka U sama dengan 1.

Dan kalau R sama dengan 1, maka U sama dengan 2.

Dan ini adalah integral logaritman natural dalam satu variable,

di mana kita bisa lakukan integral parsial dengan mudah.

Sesuatu yang nampak sebagai mimpi yang buruk,

dengan menggunakan koordinat polar ternyata menjadi sebuah integral yang sangat sederhana.

Jadi terkadang ketika kita melihat sebuah fungsi yang melibatkan fungsi dua peubah,

perhatikan kalau kita bisa mengenali batas-batasnya atau integrannya sebagai fungsi dari R,

maka sebaiknya kita transformasikan ke koordinat polar.