Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas contoh soal yang melibatkan invers trigonometri, dengan fokus pada menghitung turunan dari sinus inverse X. Dalam penyelesaiannya, digunakan substitusi untuk mengubah bentuk soal menjadi lebih sederhana. Setelah menghitung turunan dari sinus inverse X, dilakukan pendekatan dengan teorema L'Hôpital untuk menyelesaikan limit yang semula kompleks menjadi lebih mudah dipahami. Dengan demikian, penyelesaian soal ini menggambarkan penggunaan strategi substitusi dan teorema L'Hôpital dalam mengatasi bentuk tak tentu dan integral tak wajar pada kalkulus 2.

Contoh berikut yang barangkali lebih intimidating adalah melihat limit ini.

Di mana kita berhadapan dengan sinus inverse X kemudian di bawah kita berhadapan dengan akar dari satu min X

yang juga tidak menyenangkan untuk kita lihat.

Kesulitannya adalah apa? Kita memeriksa dulu pertama kalau sinus inverse 1 itu hasilnya adalah pi per 2.

Jadi kita tahu bahwa ini bentuk yang di atas adalah pi per 2 kurang pi per 2.

Jadi sinus inverse 1 itu artinya kita bertanya sinus berapa yang nilainya adalah 1 dan itu adalah pi per 2.

Jadi kita punya pi per 2 kurang pi per 2 0, bentuk di atas 0.

Kemudian ini kalau X menuju 1 di bawah adalah 0 juga jadi kita akan punya bentuk 0 per 0.

Kesulitannya untuk menerapkan teorema L'Hôpital tentu adalah yang pertama

kita harus mencoba menghitung turunan dari sinus inverse X yang mungkin tidak mudah.

Jadi barangkali kita akan coba untuk melenyapkan dulu suku sinus inverse X.

Bagaimana caranya? Misalkan kita tulis Y adalah sinus inverse X.

Berarti kalau begitu saya punya X harusnya adalah sinus Y.

Jadi kalau saya terapkan ini dan kalau X menuju 1 maka Y akan menuju pi per 2.

Nah dengan menggunakan substitusi ini kita dapat mengubah soal di atas menjadi limit Y menuju pi per 2

dari pi per 2 dikurangi Y sebab sinus inverse X itu adalah Y.

Kemudian dibagi dengan akar dari 1 minus X, X itu adalah sinus Y.

Jadi kita akan terlibat dengan sebuah fungsi yang mungkin sedikit lebih sederhana dari sebelumnya

karena kita akan punya di sini 1 minus Y.

Tetapi mungkin belum terlalu menyenangkan juga sebab kita akan terlibat dengan menghitung turunan dari akar dari 1 minus Y.

Sehingga kelihatannya tetap sulit untuk menggunakan pendekatan ini.

Jadi kita ganti strategi jangan menggunakan ini.

Kita coba berhadapan dengan bagaimana caranya menurunkan fungsi sinus inverse X.

Dan itu kita lakukan terlebih dahulu bahwa kalau kita punya fungsi sinus inverse X.

Misalkan Y adalah sinus inverse X maka kita punya di sini X adalah sinus Y.

Kalau Y adalah sinus inverse X maka X adalah sinus Y.

Dengan demikian kalau kita turunkan ini kita dapatkan 1 sama dengan sinus Y turunannya adalah cos Y dikali dengan Y aksen.

Atau kita punya Y aksen adalah 1 per cos Y.

Jadi kita tahu bahwa turunan dari sinus inverse X adalah 1 per cos Y.

Tugas kita hanyalah sekarang tinggal mengganti cos Y.

Sebab kalau variable bebasnya adalah X tentu kita inginkan bahwa hasil akhirnya juga di dalam X.

Nah hubungan yang bisa kita pakai tentu adalah ini.

Kalau sinus Y berarti Y nya adalah sudut sinus itu adalah X berarti dia adalah X per 1.

Dengan demikian kita tahu ini adalah akar dari 1 min X kuadrat.

Jadi dari sini kita tahu bahwa turunan dari sinus inverse X adalah akar dari 1 min X kuadrat.

Jadi kita simpan di sini ya bahwa sinus inverse X kalau saya hitung turunannya hasilnya adalah 1 dibagi dengan akar dari 1 min X kuadrat.

Baik sekarang kita sudah tahu bagaimana caranya menghitung turunan dari sinus inverse X.

Yang lagi-lagi mengganggu adalah bentuk ini.

Oleh karena itu saya pakai substitusi misalkan Y kuadrat adalah 1 min X.

Berarti kalau begitu saya punya di sini bahwa X harusnya adalah 1 dikurangi Y kuadrat.

Dan kita sudah tahu juga di sini bahwa kalau X menuju 1 akibatnya kalau Y nya seperti ini maka Y kuadrat itu akan menuju ke 0.

Dan artinya Y akan menuju 0 tapi dari arah kanan seperti itu.

Oh maaf oke limit ini juga tidak terdefinisi kalau X nya lebih besar dari 1.

Berarti ini harus menuju 1 dari kiri seperti itu.

Nah dengan menggunakan ini kita tahu bahwa limit X dengan menggunakan ini kita dapat mengganti limit X menuju 1 dari kiri menjadi limit Y menuju 0 dari kanan.

Kemudian ini menjadi pi per 2 dikurangi dengan sinus inverse dari X yaitu 1 min Y kuadrat dibagi dengan Y.

Nah ini jauh lebih menyenangkan untuk kita terapkan lopital sebab di bawah penyebutnya hanya Y saja.

Jadi satu kali melakukan lopital hilang penyebutnya sama dengan 0.

Jadi kalau saya terapkan lopital di sini maka kita dapatkan limit Y menuju 0 dari kanan.

Pi per 2 habis turunan dari sinus inverse adalah ini berarti minus dari 1 per akar dari 1 minus X.

X itu adalah 1 min Y kuadrat dikuadratkan.

Keliatannya rumit tapi enggak terlalu sebenarnya.

Kemudian jangan lupa dikali dengan turunan di dalamnya dan turunan di dalamnya adalah minus 2Y.

Sehingga kita dapatkan tanda minusnya saling menghilangkan.

Kita punya seperti ini dan penyebutnya sudah sama dengan 1.

Nah perhatikan bentuk yang di bawah ini tidak lain adalah limit Y menuju 0 plus dari 2Y dibagi dengan akar dari.

Nah perhatikan ini adalah 1 kurang 1 0 kemudian ada suku berikutnya adalah minus 2Y kuadrat.

Kemudian kena minus berarti 2Y kuadrat dan suku yang paling terakhir adalah Y pangkat 4.

Tentu saja bisa tapi kita bisa juga memindahkan Y ini ke bawah atau mengeluarkan Y kuadrat dari sini.

Sehingga kita dapatkan 2Y kuadrat keluar dari akar akan muncul harga mutlak dari Y.

Mengingat Y nya mendekati 0 dari arah kanan berarti harga mutlaknya hilang tinggal Y saja.

Dengan demikian untuk Y menuju ke 0 hasilnya adalah 2 dibagi akar 2 sama dengan akar 2.

Nah lihat bahwa turunan yang harus kita lakukan hanya satu kali.

Tapi kalau kita terapkan langsung ke sana mungkin kita harus menerapkannya beberapa kali.