Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas contoh integral tak wajar yang divergen pada integral dari minus 1 sampai 1 per x dx. Konsep integral tak wajar muncul saat kita memiliki batas-batas yang tidak biasa, seperti pada kasus integral dari minus tahinga sampai tahinga fx dx. Untuk menangani integral tak wajar, kita perlu membagi daerah-daerah integral tersebut dengan hati-hati agar ketidakwajaran hanya muncul di satu tempat. Integral tak wajar ini memerlukan pendekatan khusus karena merupakan limit dari dua buah integral yang harus diperlakukan secara terpisah.

Contoh kedua yang juga kurang lebih serupa dengan sebelumnya adalah ketika kita berhadapan dengan integral seperti ini.

Integral dari minus 1 sampai 1 seper x dx dan tentunya hasilnya atau integral ini adalah ln mutlak x

dan kalau kita evaluasi pada batas-batasnya hasilnya adalah 0 seperti itu.

Well tidak terlalu mengejutkan kalau kita melihat integralnya seperti ini 1 per x fungsinya seperti ini

maka kita sedang seperti menghitung luasan ini kemudian harus dikurangi dengan luasan ini.

Karena seper x itu simetris seperti ini jadi kesannya seperti ini benar

karena luasan yang atas ini kurang lebih sama sama yang di sini.

Yang di sini positif yang ini negatif tentu kalau kita jumlahkan sama dengan 0.

Tetapi ini adalah konsep yang salah ini adalah integral tak wajar

jadi tidak boleh dihitung dengan cara seperti ini dan tidak boleh dibaca dengan cara seperti itu juga.

Kita harus melihat ini sebagai integral dari minus 1 sampai 0 dari 1 per x dx

ditambah integral dari 0 sampai 1 seper x dx dan keduanya ini adalah limit perhatikan

limit B menuju 0 dari kiri integral dari minus 1 sampai B seper x dx

ditambah dengan limit B menuju 0 dari kanan integral dari A dari B sampai 1 seper x dx.

Nah ini yang membedakan kita melihat bahwa pada dasarnya integral tersebut adalah jumlahan dari 2 buah limit.

Jumlahan dari 2 buah limit hanya mungkin ada kalau masing-masing limitnya ada.

Dan kita tahu ini tahinga ini juga tahinga dengan demikian kita tahu bahwa limitnya harusnya adalah tidak ada atau tahinga atau divergen.

Nah jadi dengan melihatnya sebagai kedua limit ini kita seperti melihat memang kalau kita melihatnya secara simetris.

Jadi lihat yang pertama B menuju 0 dari arah kiri ya berarti saya punya dari sini yang menuju ke sana.

Kemudian dari arah kanan saya punya B menuju 0 dari arah kanan juga.

Jadi saya punya B yang seperti ini dan juga menuju 0 dari arah sana.

Nah selama saya melihatnya itu bagian yang selalu simetris sama seperti ini.

Ini akan saling menghilangkan dengan ini dan itu sebabnya hasilnya tadi 0 seperti itu.

Kalau kecepatan menuju ke 0 dari kiri maupun dari kanannya sama.

Tapi limit ini kan menuju 0 dari kiri maupun limit dari kanan independen.

Jadi kalau saya menuju B dari sini saja dengan membiarkan B yang di kanan sebelah tetap terus dia akan divergen.

Nilainya akan sangat negatif dan sedangkan kalau dari sini dia akan sangat positif.

Jadi ini seperti tahinga dikurangi tahinga.

Apakah bisa ada limitnya? Oh bisa kalau kecepatannya sama.

Tetapi kalau kecepatannya berbeda tidak akan sama.

Dan dalam kasus ini karena masing-masing harus ada maka integral tersebut tidak boleh ada.

Jadi ingat baik-baik yang dinamakan integral tidak wajar itu adalah bukan integral biasa.

Integral tidak wajar adalah sebuah limit dan limit itu tidak sama dengan mengevaluasi nilai fungsi di sebuah bilangan.

Oleh karena itu kita harus pelajari dan kita harus perlakukan integral tidak wajar ini dengan hati-hati.

Dan bentuk yang paling super kurang ajar atau tidak wajar tingkat dewa

itu adalah kalau kita berhadapan dengan fungsi integral dari minus tahinga sampai tahinga fx dx.

Karena apa? Karena kita akan berhadapan dengan semua jenis ketidakwajaran yang kita pelajari akan muncul di sini.

Pertama batas bawahnya tidak wajar karena minus tahinga.

Batas atasnya juga tidak wajar menjadi tingkat.

Dan kalau fx nya juga mempunyai ketidakwajaran di tengah-tengah

jadi kita harus handle itu dengan hati-hati.

Jadi cara untuk mengerjakan soal ini adalah membaginya menjadi daerah-daerah seperti ini misalkan.

Plus integral dari a misalkan ada lagi nanti b fx dx ditambah dan seterusnya sampai yang terakhir mungkin z sampai tahinga dari fx dx.

Dan pada setiap bagian ketidakwajaran ini ketidakwajarannya hanya boleh muncul di satu tempat.

Jadi misalkan kalau dalam kasus ini di minta hingga tidak wajar di a harus baik-baik saja.

Nggak boleh ketakwajarannya muncul di dua tempat.

Ini kalau ketidakwajarannya muncul di b berarti a nya tidak boleh tidak wajar dan seterusnya.

Jadi bentuk yang seperti ini itu mungkin bentuk yang paling ekstrim dari sebuah integral tak wajar.