Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas contoh soal uji integral dengan cara langsung pada barisan dan deret. Integral dari 1 sampai X hasilnya divergen, yang dapat disimpulkan bahwa sigma dari barisan tersebut juga divergen. Dengan mengganti suku-suku tertentu, dapat ditunjukkan bahwa sigma dari 1 sampai tak hingga dari 1 per N divergen. Hal ini menegaskan bahwa menghitung integral dapat membantu menunjukkan konvergensi suatu barisan.

Sebagai contoh perhatikan deret berikut dari 1 sampai tahinga seper N.

Tentu saja kita lihat bahwa AN disini atau FN disini adalah seper N.

Jadi kalau N nya menuju tahinga seper N tuh menuju ke 0 berarti ini sudah dipenuhi ini.

Ya bahwa limitnya 0 jadi kita tidak dapat gunakan yang biru ini karena kita tidak bisa.

Kita hanya bisa gunakan yang biru kalau kita tahu limitnya tidak 0.

Karena limitnya 0 berarti yang ini tidak bisa kita gunakan.

Nah jadi kita sekarang memandang integral dari 1 sampai X sampai tahinga dari 1 per X dx.

Dan ini kita sudah lihat tadi ya di topik integral tak wajar kita sudah lihat bahwa ini hasilnya adalah divergen yang ini.

Karena hasilnya integral dari seper X tuh len, len nya kalau ya oke lah mari kita kerjakan.

Ini sama dengan limit B menuju tahinga dari integral dari 1 sampai B seper X dx.

Dan kita hitung ini, ini tidak lain adalah limit B menuju tahinga dari len B.

Dan karena B nya menuju tahinga ini juga akan menuju tahinga jadi ini divergen.

Berarti kita tahu ini pun akan divergen oke ini pun akan divergen.

Jadi menghitung integral ini membuat kita dapat menyimpulkan bahwa sigma yang tadi divergen.

Setuju ya ini divergen oke tapi tentu saja ada enggak cara langsung untuk bisa melihatnya bahwa ini memang benar divergen.

Jawabannya ada yuk ini dapat kita tulis menjadi apa?

1 kalau n nya 1 plus kalau n nya 2 setengah, kalau n nya 3 1 per 3, kalau n nya 4 1 per 4,

kalau n nya 5 1 per 5, 1 per 6, 1 per 7, 1 per 8, kemudian 1 per 9, 1 per 10, 1 per 11, 1 per 12,

1 per 13, 1 per 14, 1 per 15, dan 1 per 16 dan seterusnya seperti itu.

Oke nah perhatikan sama-sama nih sekarang 1 per 3 itu lebih besar daripada 1 per 4 oke.

1 per 3 itu lebih besar daripada 1 per 4 jadi kalau 3 disini saya ganti dengan 4

maka kesamaan ini tidak mungkin lagi sama sebab 1 per 3 nya saya ambil saya buang saya ganti dengan yang lebih kecil.

Berarti hasil yang disebelah kanan ini seharusnya lebih kecil dari yang sebelah kiri.

Jadi tanda disini harus saya ubah menjadi seperti ini.

Oke nah sekarang 1 per 5, 1 per 6, 1 per 7 semuanya lebih kecil daripada 1 per 8.

Jadi dapat saya ganti ini dengan 8 semuanya.

Tanda tidak berubah sebab tetap saya gantinya dengan yang lebih kecil.

1 per 9, 1 per 10, 1 per ... semuanya lebih kecil daripada 1 per 16.

Jadi saya dapat ganti ini juga dengan 16 semuanya.

Nah saya dapat lakukan permainan yang sama terus di bawah dengan suku yang semakin lama semakin banyak.

Apa yang menarik 1 per 4 tambah 1 per 4 adalah setengah.

1 per 16 tambah 1 per 16 adalah setengah.

Jadi saya sedang memperlihatkan bahwa jumlahan dari 1 sampe tahhinga 1 per N akan lebih besar dari 1 tambah setengah,

tambah setengah, tambah setengah, tambah setengah, tambah setengah, tambah setengah, dan seterusnya.

Dan penambahan setengah ini akan membuat yang di sebelah kanan ini menuju ke tahingga.

Kalau yang sebelah kanan yang lebih kecil dari ini menuju ke tahingga, apalagi yang lebih besar pasti menuju ke tahingga.

Jadi benar bahwa sigma dari 1 sampai tahingga seper N itu divergen.

Contoh ini mau menegaskan bahwa dengan menghitung integral ini kita akan dapat menunjukkan bahwa ini konvergen.