Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas tentang deret pangkat yang merupakan penulisan dari fungsi 1 dibagi dengan 1-x sebagai 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 dan seterusnya. Deret ini dapat dituliskan dalam notasi sigma an kali x^n. Untuk konvergen, x harus berada di antara -1 dan 1. Interval ini dikenal sebagai daerah konvergensi deret tersebut.

Kita sudah melihat kalau kita punya sebuah fungsi misalkan kita lihat sebuah fungsi fx

yang adalah 1 dibagi dengan 1-x maka kita dapat melakukan proses pembagian seperti ini

1 dibagi dengan 1-x jadi kalau saya hitung 1 dibagi 1 hasilnya adalah 1

1 kali ini 1-x kemudian kita hitung selisihnya kita dapatkan x

x dibagi 1 kita dapatkan disini plus x, x kali ini jadi x-x2

dan kemudian ketika kita kurangkan kita dapat x2 kita bagi lagi kita dapatkan disini x2

kalikan menjadi x-3 kemudian kurangi hasilnya adalah x-3 dan selanjutnya

jadi kita dapat menuliskan bahwa 1 dibagi dengan 1-x

itu adalah 1 plus x plus x2 plus x3 plus x4 dan seterusnya

dan deret seperti ini itulah yang dinamakan dengan deret pangkat

yaitu sesuatu yang dapat dituliskan sebagai x pangkat sesuatu

dan secara umum ini bisa dituliskan sebagai sigma dari 1 sampai tahingga atau dari 0 juga boleh

dari an dikali dengan x pangkat n ini adalah notasi formal dari sebuah deret pangkat seperti itu

nah tentunya dalam hal ini kita harus melihat bahwa ini tidak mungkin benar untuk semua x

kalau untuk x sama dengan 0 misalkan kita punya disini 0 tambah 0 tambah 0 tambah 0

hasilnya 0 semua yang disini berarti ini 1 dan disini 1 per 1

jadi untuk 0 dia benar tapi tidak mungkin benar untuk semua x

contoh kalau x-nya 2 disini 1 ditambah 2 ditambah 4 ditambah 8 ditambah 16 dan seterusnya

ruas kanan seharusnya menuju ke tahingga tetapi ruas kiri itu adalah 1 dibagi dengan 1-2 yaitu minus 1

mana mungkin 1 tambah 2 tambah 4 tambah 8 tambah 16 tambah dan seterusnya sama dengan minus 1

jadi kita lihat disini bahwa ini tidak benar untuk semua x

pertanyaannya untuk x yang mana saja ini benar

nah kalau kita tuliskan menjadi seperti ini berarti kita seperti melihat bahwa ini selalu sama dengan 1

ya besar ini selalu sama dengan 1 jadi dia adalah x pangkat n

nah kalau kita hitung rasio dari barisan ini Rho berdasarkan definisinya kita dapat melihat dia sebagai x menuju ke sorry n menuju ke tahingga

seakan-akan dia adalah kita pakai karena x-nya masih bisa positif dan negatif

maka kita harus ambil mutlaknya dibagi dengan mutlak x pangkat n

ini adalah definisi dari rasio yang kita telah lihat pada deret ganti tanda sebelumnya

dan juga rasio yang sama ketika kita melihat deret positif karena ini positif seperti itu

dan kalau kita hitung ini adalah limit n menuju tahingga dari mutlak x

karena ini rasio, rasio ini kalau rasionya lebih kecil dari 1

maka saya tahu sigma 0 sampai tahingga dari x pangkat n akan konvergen

konvergen artinya nilai ininya akan berhingga dan akibatnya harus sama dengan dia

jadi dalam hal ini kita punya bahwa x yang benar adalah kalau x-nya terletak antara ini

berarti saya punya disini x harus terletak antara min 1 sampai 1

atau ini adalah pengertiannya sama dengan min 1 lebih kecil dari x lebih kecil dari 1

saya punya tinggal punya 2 masalah sekarang yaitu kalau x-nya sama dengan min 1

kalau x-nya sama dengan 1 kita lihat bahwa ini adalah 1 tambah 1 tambah 1 tambah 1 tambah 1

divergen berarti ini tidak mungkin konvergen di daerah sini

kalau min 1 gimana kita dapatkan 1 tambah min 1

berarti jadi 0 tambah 1 jadi 1 lagi tambah min 1 0

jadi ini berganti-ganti nilainya antara 1 0 1 0 1 0 jadi juga tidak konvergen

berarti benar-benar bahwa deret ini bisa sama dengan ini itu jika x-nya ada di dalam min 1 sampai 1

nah interval ini itu dikenal dengan nama daerah atau interval kekonvergenan

pada daerah inilah deret tersebut memiliki arti