Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas tentang deret positif dan uji suku ke tak hingga. Dalam konteks barisan bilangan positif, jika limit dari suku ke tak hingga tidak sama dengan 0, maka deretnya akan divergen. Hal ini mirip dengan konsep integral tak wajar. Kaitan antara deret dan integral tak wajar memiliki pentingnya yang luar biasa dalam matematika.

Sekarang misalkan kita punya a n adalah sebuah barisan bilangan dan barisan bilangan ini adalah barisan bilangan yang spesial dalam arti dia selalu positif suku-sukunya.

a n ini adalah selalu positif jadi a n nya lebih besar dari 0 untuk setiap n menuju tiga.

Dari barisan ini kita dapat membentuk sebuah deret yaitu s n sama dengan sigma dari 1 sampai n a k.

Jadi seperti saya menjumlahkan barisan-barisan ini suku-suku dari barisan a n ini saya jumlahkan disini.

Dia tentu saja adalah barisan yang positif juga barisan s n ini.

Nah misalkan sekarang kita harus membedakan dua hal.

Pertama misalkan kita punya sekarang limit n menuju tahingga dari a n itu adalah a sebuah bilangan.

Kalau a n ini positif, bilangan positif maka limit n menuju tahingga dari a n barisan sama dengan a, a ini juga harus positif.

Jadi kalau saya punya sebuah barisan yang positif terus maka limitnya konvergennya kemana?

Kalau dia konvergen, konvergen itu harus selalu konvergen ke sebuah bilangan lain yang juga positif.

Ini sama dengan mengatakan kurang lebih gambarannya identik dengan mengatakan bahwa kalau f x itu selalu positif

maka limit x menuju tahingga dari f x ini juga ini ada lebih besar dari 0 maaf ini harusnya lebih besar sama dengan 0 gitu seperti itu ya.

Nah kalau kita asumsikan limitnya bukan lebih besar sama dengan 0 meskipun dia bisa tetapi limitnya itu positif ya.

Kalau limitnya positif berarti dia akan konvergen ke sebuah bilangan yang positif.

Nah ingat ini adalah limit untuk n menuju tahingga misalkan a nya disini bilangan positif seperti itu.

Saya gambarkan kurang lebih kira-kira seperti ini, ini a nya gitu ya seperti ini saya tarik kesini.

Nah kata definisi limit tadi saya berapapun epsilon saya bisa mengambil sebuah epsilon sekecil apapun misalkan epsilon nya segini.

Nah maka kalau limit n menuju tahingga dari a n itu konvergen ke a maka akan ditemukan sebuah indeks tertentu sebutlah disini ini n nya.

Nah mulai dari indeks ini kesana maka suku-suku barisan tersebut akan seluruhnya berada di dalam sini.

Ini yang dimaksud dengan kekonvergenan ke a seperti itu.

Jadi kalau di sebelah sini sebelum n nya sama dengan n mungkin suku-sukunya ada disini sangat mungkin bisa juga disini atau kemana bisa saja dimana.

Tapi mulai dari indeks ini kesana dia akan selalu berada di dalam pita tipis seperti ini kalau barisannya konvergen ke a seperti itu.

Nah sekarang misalkan dia konvergen ke a seperti itu dan disini ada sebuah bilangan lain.

Atau epsilon nya saya ambil disini karena positif a per 2 berarti kalau epsilon nya a per 2 jarak ini pun adalah a per 2.

Kalau saya lihat perhatikan indeks yang ini saja semua suku-sukunya akan berada di dalam sini artinya apa?

Jadi kalau an untuk n yang lebih besar dari n.

Jadi kalau saya jumlahkan semuanya maka saya akan punya an plus 1 tambah an plus 2 tambah an plus 3.

Dan seterusnya jumlahan ini semuanya akan lebih besar dari apa?

Masing-masingnya lebih besar dari a per 2.

Jadi lebih besar dari a per 2 ditambah a per 2 ditambah a per 2 ditambah dan seterusnya.

Jadi akan lebih besar dari ini akan konvergen ke ta hingga kalau a per 2 nya positif.

A per 2 nya kan hanya positif berarti a per 2 positif ini bilangan positif ditambah bilangan positif ditambah bilangan positif ditambah terus ke sana.

Yang bilangan positif tetap konstan a per 2.

Bilangan yang sama ini sama dengan mengalikan m kali a per 2 untuk suatu m.

Jadi m nya menuju ta hingga ini akan menuju ke ta hingga.

Dengan kata lain jumlahan ini belum termasuk yang sebelah sini.

Yang ujung belakangnya saja jumlahannya akan ta hingga.

Nah dari sini kita dapat simpulkan bahwa jika kita punya deret positif yang seperti ini.

Kita simpulkan jika limit n menuju ta hingga dari an itu tidak 0.

Maka sigma 1 sampai ta hingga an itu divergen.

Jadi kalau limitnya tidak 0 maka dia akan divergen.

Persis sama seperti integral tak wajar yang kita bahas tadi.

Ketika fungsinya tidak konvergen ke 0 maka tidak ada harapan untuk integral tak wajar tersebut bisa ada.

Ketika limit an nya tidak menuju ke 0 maka tidak ada harapan untuk sigmanya bisa konvergen.

Jadi benar-benar antara sigma dengan integral itu memiliki kaitan yang luar biasa pentingnya.