Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konstruksi deret Taylor & MacLaurin untuk fungsi matematika. Deret ini dapat digunakan untuk mengaproksimasi fungsi kompleks menjadi deret polinomial yang lebih sederhana. Dengan cara ini, kita dapat menghitung nilai fungsi dengan lebih mudah, seperti contohnya sin x yang dapat diwakili sebagai deret polinomial. Penggunaan deret ini memungkinkan pendekatan fungsi yang sulit dihitung dengan kesalahan yang sangat kecil, memudahkan perhitungan dalam kalkulus.

Masalah yang sedang kita hadapi adalah misalkan kita dapatkan sebuah fungsi fx

dan kita ingin mengkonstruksi sebuah deret yang konvergen ke dia.

Apakah bisa atau tidak? Tentu saja tidak selalu bisa.

Tetapi kalau bisa seperti apa deretnya? Seperti itu.

Cara yang paling sederhana tentunya adalah

Kalau saya mau menuliskan dia menjadi sebuah deret ya saya tuliskan dia sebagai sebuah deret.

Mustinya dia adalah a0 a1x plus a2x2 plus a3x3 plus a4x4 dan seterusnya.

Dan sebutlah bahwa dia konvergen di dalam sebuah interval buka i

Jadi apa yang harus saya tentukan sekarang?

Saya harus menentukan siapa a0, siapa a1, siapa a2, siapa a3, siapa a4, dan selanjutnya.

Yang paling mudah tentu adalah menentukan siapa a0nya.

Yaitu apa? Kita substitusikan x sama dengan 0.

Kalau x sama dengan 0 maka saya punya f0 harusnya adalah a0.

Sehingga saya dapatkan a0 seharusnya adalah f0 karena yang di belakangnya semuanya 0.

Lalu sekarang bagaimana untuk mendapatkan a1?

Kita bisa tentu saja fx dikurangi dengan a0 kemudian kita bagi dengan x.

Tetapi kalau x menuju 0 yang luas kanannya mungkin bisa tak hingga karena x nya menuju ke 0.

Kita bisa melakukan turunan dari sini untuk mendapatkan a1 plus 2a2x plus 3a3x2 plus 4a4x4 dan seterusnya.

Dan dia juga akan tetap konvergensinya di daerah x sama dengan i.

Dan sekarang saya dapat kembali mensubstitusikan x sama dengan 0.

Kalau x sama dengan 0 maka saya dapatkan f0 harusnya adalah a1.

Jadi saya dapat a1nya karena ruas yang sebelah kanan ini semuanya memuat x.

Dan akan hilang waktu x nya disubstitusi sama dengan 0.

Terinspirasi oleh kesuksesan ini kita dapat melanjutkan kembali.

Tentu yang kita turunkan sekarang adalah ini.

Maka saya dapatkan 2a2x hilang karena sudah diturunkan.

Plus ini adalah 3 dikali 2 dikali a3x plus 4 dikali 3 dikali a4x2 plus dan seterusnya.

Lagi-lagi disini waktu saya substitusikan x sama dengan 0.

Maka saya akan dapatkan a2 adalah f double aksen 0 dibagi dengan 2.

Dengan cara yang sama kalau saya hitung a pangkat 3, turunan pangkat 3 maka saya akan dapatkan a3.

Dari pola ini saya tahu bahwa a3 seharusnya adalah f ketiga dari 0 dibagi 3x2.

A4 tadi kan waktu a3 saya akan menurunkan berarti saya akan dapat 4x3x2.

Itu kata kuncinya berarti ini juga dikali 1.

Jadi sebenarnya ini adalah f yang ketiga di 0 dibagi 3!

Jadi dari sini saya dapatkan dengan pola ini saya dapat simpulkan bahwa an yang saya mau di atas sana harusnya adalah turunan ke n.

Dan dengan cara ini sebarang fungsi fx asal dia punya turunan sampai order berapapun

maka saya selalu dapat menuliskannya sebagai deret yang berbentuk fn0 dibagi n! dikali x pangkat n.

Dan deret ini dikenal dengan nama deret McLaurin.

Khususnya kalau tidak di 0 kita dapat sedikit geser titiknya

maka kita akan mendapatkan deret taylor yaitu kalau kita geser titiknya menjadi seperti ini.

Sama dengan sigma dari 0 sampai tahingga turunannya adalah dA dibagi n!

Ini A kemudian dikali dengan x-A pangkat n.

Dan tentu saja daerahnya agak berubah sedikit.

X-nya harus terletak antara A-R sampai A plus R.

Dengan R adalah jari-jari kekonvergenalnya.

Ini disebut deret taylor dan ini disebut deret McLaurin.

Dan deret-deret yang tadi sudah kita kenal 1 plus x plus x kwadrat per 2 faktorial

plus x pangkat 3 per 3 faktorial adalah deret taylor atau deret McLaurin dari A pangkat x.

Dan kemudian deret suku ganjil tadi x minus 1 per 3 faktorial x pangkat 3 plus 1 per 5 faktorial x pangkat 5

itu adalah deret McLaurin dari sin x dan cos x yang dapat kita hitung.

Jadi sekarang kita dapat benar-benar menuliskan sebuah fungsi sebagai sebuah deret representasinya seperti itu.

Nah pertanyaannya sekarang apa keuntungannya kalau saya punya deret,

kita punya fungsi dan kita bisa tuliskan di dalam sebuah deret.

Misalkan saya punya deret ini bahwa sin x itu dapat dituliskan menjadi x minus 1 per 3 faktorial x pangkat 3

plus 1 per 5 faktorial x pangkat 5 min dan seterusnya.

Kalau saya tidak punya urayan deret ini habis saya.

Bagaimana caranya mengkotret atau menghitung sin 0,1?

Tetapi kalau saya punya ini, ini adalah 0,1 kurangi 1 per 3 faktorial dikali 0,1 pangkat 3

ditambah 1 per 5 faktorial dikali dengan 0,1 pangkat 5 dan seterusnya.

Tetapi saya tahu 0,1 pangkat 3 itu hanya mempengaruhi digit keempat dari urayan desimal saya.

Ini pun demikian, ini malah dibaginya dengan 5 faktorial.

Jadi kurang lebih sin 0,1 itu akan sama dengan 0,1 kurang sesuatu tapi sesuatunya sangat kecil.

Dan itu sebabnya mengapa kita sering menuliskan untuk sudut yang kecil sin x hampir sama dengan x.

Karena kita lihat memang urayan deret ini juga perbaikannya ada di suku-suku selanjutnya.

Jadi dengan menguraikannya dalam bentuk polinom seperti ini,

kita dapat menghampiri sebuah fungsi sin x seperti ini menjadi sebuah deret seperti ini.

Nah apa pentingnya? Pentingnya adalah gini.

Kenyataan bahwa fungsi sin x ini harus dinyatakan sebagai x minus x pangkat 3 plus x pangkat 5 dengan koefisien-koefisien plus titik-titik.

Ini mengatakan bahwa saya harus untuk menghitung nilai lengkapnya,

saya harus menghitung seluruhnya pangkat sampai pangkat tahinga.

Ini memperlihatkan bahwa sin x adalah fungsi yang transcendental.

Sebuah fungsi yang transcendent seperti itu.

Tapi kalau dia fungsi transcendent ini dapat dituliskan sebagai deret yang seperti ini,

maka saya dapat menghampirinya dengan polinom pangkat 5 dengan cara membuang suku-suku sisanya.

Pertanyaannya kalau saya buang suku sisanya berapa kesalahannya?

Dari sini saya tahu kesalahannya adalah x pangkat 7.

Jadi kalau x nya 0,1 kesalahannya kurang lebih adalah 0,1 pangkat 7.

Jadi ini dapat saya gunakan untuk mengaproksimasi fungsi-fungsi saya yang sangat sulit untuk saya hitung.