Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas tentang dot product atau hasil kali titik antara dua vektor dalam kalkulus 2. Dot product merupakan pemetaan dari dua vektor ke bilangan real yang merupakan jumlah dari perkalian komponen vektor tersebut. Selain itu, video juga menjelaskan aturan kosinus yang merupakan generalisasi dari teorema Pitagoras untuk segitiga siku-siku, di mana B kuadrat ditambah C kuadrat dikurangi 2BC dikali cosinus sudutnya sama dengan A kuadrat.

Baik, kita sudah berdiskusi tadi tentang panjang vektor dan panjang vektor itu mempunyai tiga sifat seperti ini.

Khususnya untuk sifat ketiga yaitu ketidaksamaan segitiga bahwa tanda sama dengan ini bisa dipenuhi.

Bahwa u tambah v, panjang dari u tambah v itu persis sama dengan panjang u ditambah dengan panjang v.

Dan ini hanya berlaku jika vektor u dan vektor v searah.

Kalau mereka searah maka jumlahnya itu bisa berlaku sama seperti itu.

Oke, mari kita perhatikan kembali definisi dari panjang vektor tersebut.

Kita punya panjang vektor seperti ini, definisinya seperti itu.

Dan mungkin Anda sekarang sudah cukup kenal dengan saya.

Jadi saya tidak suka di sini ada akar, saya mau hilangkan akarnya.

Dan ini tentu saja tidak lain adalah u1 kali u1 tambah u2 dikali dengan u2 ditambah u3 dikali dengan u3.

Nah perkalian ini kemudian memberikan saya, pada saya sebuah ide baru.

Yaitu untuk menghitung sebuah bentuk perkalian antara dua buah vektor u dan v.

Jadi sekarang saya punya vektor u dan saya punya vektor v.

U komponennya adalah u1, u2, u3 dan v adalah komponennya v1, v2, v3.

Dan saya bisa mendefinisikan sekarang sebuah perkalian operasi antara u dan v.

Yang tidak lain adalah komponen pertama dikali dengan komponen pertama dari ini, u1 kali u1.

Dan operasi ini saya namakan dot product atau hasil kali titik.

Jadi dot product adalah sebuah mapping, sebuah pemetaan dari dua buah vektor pada sebuah bilangan real.

Dan dari definisi ini dengan mudah kita dapat melihat bahwa panjang vektor u itu tidak lain adalah u didot dengan u sendiri.

Kemudian dipangkatkan setengah atau diambil akarnya.

Sifat-sifat dari dot product ini juga sangat bagus.

Yang pertama, Anda lihat kalau saya tukar u1 dengan v1, u2 dengan v2, u3 dengan v3 maka jumlahnya tidak berubah.

Jadi sifat satu yang langsung saya punya di sini bahwa u dot v itu tidak berbeda atau sama dengan v dot u.

Lalu kalau saya ganti sekarang, saya punya jumlahan dari dua buah vektor.

Kemudian saya dot product kan dengan v, vektor yang ketiga.

Maka pada dasarnya ini merupakan jumlahan antara dot product dari hasil kali ini.

Jadi seperti hasil kalinya bisa masuk seperti hukum distributif yang biasa.

Dot product ini mempunyai satu sifat yang penting.

Namun sebelumnya kita akan bicarakan secara khusus apa yang dimaksud dengan aturan kosinus.

Sebelum kita bicarakan sifat yang ketiga.

Aturan kosinus ini adalah sesuatu yang sudah kita kenal sejak di SMA dulu.

Untuk sederhananya ini berlaku untuk sebarang segitiga.

Tapi untuk sederhananya saya buat segitiga yang bentuknya seperti ini.

Dan sesuai kebiasaan ini saya beri nama titik A.

Biasanya sisi di hadapan sudut A itu diberi nama panjangnya A.

Nah saya akan menggambarkan sebuah garis bantu sekarang.

Dan sesuai dengan bentuknya ini saya beri nama T.

Nah anda perhatikan bahwa saya punya dua buah segitiga siku-siku sekarang.

Tentu di dalam sebuah segitiga siku-siku kita punya teorema Pitagoras.

Jadi saya tahu X kuadrat ditambah T kuadrat.

Dan kemudian dari segitiga yang kedua ini.

Saya punya T kuadrat ditambah dengan ini.

Nah kalau yang relasi yang kedua ini saya sederhanakan.

Nah perhatikan T kuadrat ditambah X kuadrat.

Berarti saya punya B kuadrat tambah C kuadrat.

Maka X ini kalau dibagi B adalah cos teta.

Dengan demikian X dapat saya ganti menjadi B dikali cos teta.

Dan ini adalah apa yang kita kenal dengan nama aturan kosines.

Dikurangi dengan 2BC dikali dengan cos teta.

Dan aturan kosines ini tidak lain adalah perumuman dari sebuah segitiga siku-siku.

Teorema Pitagoras untuk segitiga yang tidak siku-siku.