Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas ilustrasi geometris maksimum dan minimum dengan menggunakan fungsi F, G, dan H dalam ruang berdimensi n. F berbentuk paraboloida dengan nilai maksimum selalu 2, sedangkan G berkembang positif. Kedua fungsi memiliki level set berbentuk lingkaran. Perbedaannya terletak pada nilai K-nya, di mana semakin dalam nilai F, semakin tinggi nilai K untuk maksimum, dan semakin rendah untuk minimum. Selain itu, diskriminan Q positif menghasilkan level set berbentuk hiperbola, sementara diskriminan Q negatif menghasilkan bentuk lain.

Sebagai ilustrasi dari apa yang kita perlihatkan tadi.

Kita lihat 3 buah fungsi di sini, F, G, dan H seperti ini.

F adalah 2 minus X kawadrat plus J kawadrat.

Kamu bisa hitung sendiri nanti matriks Q nya di sini adalah...

Dan di sini juga matriks Q nya dapat anda hitung sendiri juga di sini.

Nah, tapi kira-kira grafiknya adalah ini.

2 kurangi X kawadrat tambah E kawadrat, kita akan punya bentuk paraboloida seperti ini.

Jadi kalau dia nilai maksimum, ini selalu negatif kan ya?

Minus dari sesuatu, ini nggak pernah negatif.

Berarti nilainya selalu 2 dan sedikit di bawah dari situ.

Nah, kalau kita hitung, kita lihat level setnya,

level set itu kurang lebih seperti mengiris bedang ini dengan bedang-bedang yang sejajar dengan subuh set.

Atau sama saja dengan menuliskan ini sama dengan konstan untuk beberapa konstan.

Kalau kita lihat, kalau kita tuliskan ini sama dengan konstanta,

maka kita akan punya persamaan X kawadrat ditambah Y kawadrat sama dengan 2 dikurangi konstanta tersebut.

Jadi kita akan punya keluarga lingkaran di sini.

Bentuknya adalah semuanya lingkaran, X kawadrat ditambah Y kawadrat.

Jadi kita akan dapatkan lingkaran di sini.

Untuk fungsi G, kita akan punya 1 plus sesuatu.

Dan ini adalah sesuatu yang nggak pernah negatif.

Nilainya di 0 adalah 1, kemudian nilainya akan selalu lebih besar dari 1 di sana.

Dan kalau kita tuliskan ini sama dengan konstanta,

dia juga akan jadi X kawadrat ditambah Y kawadrat sama dengan K kurang 1.

Lagi-lagi kita akan dapat keluarga lingkaran di sini.

Jadi kamu lihat bahwa nilai maksimum ataupun nilai minimum,

keduanya akan memiliki bentuk level set yang kurang lebih sama.

Yaitu sama-sama lingkaran yang konsentrik seperti itu.

Untuk nilai maksimum, semakin ke dalam nilai F-nya akan semakin tinggi.

Sedangkan di sini, semakin ke dalam nilai F-nya akan semakin rendah.

Jadi di situ yang kita bisa lihat di mana perbedaannya adalah dengan melihat nilai K-nya.

Bahwa semakin ke dalam, K-nya akan menjadi lebih besar.

Sedangkan kalau di sini, ini fungsi yang X kawadrat minus X kawadrat tambah Y kawadrat,

Kalau pada arah Y, dia adalah Y kawadrat.

Dan pada arah X, dia bentuknya adalah min X kawadrat.

Maka kita akan dapatkan permukaan yang berbentuk seperti ini.

Kalau kita gambar level setnya, yaitu sama dengan konstanta,

kita lihat itu adalah persamaan untuk hiperbola.

Jadi kita akan dapatkan hiperbola-hiperbola seperti ini.

Jadi perbedaannya untuk yang nilai maksimum atau minimum,

ini keduanya adalah kalau diskriminan Q-nya positif.

Kalau diskriminan Q-nya positif, maka level setnya akan berbentuk seperti ini.

Sedangkan untuk yang diskriminannya negatif, berarti level setnya akan berbentuk seperti ini.

Itulah perbedaan yang utama antara fungsi-fungsi seperti ini.