Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas integral tak wajar bentuk kedua, di mana terdapat singularitas pada fungsi di batas integral. Contoh integral dari 0 hingga 1 dengan 1 per x pangkat p dx merupakan kasus yang dibahas. Integral tersebut memerlukan pendekatan limit karena adanya masalah pada x sama dengan 0. Dalam penyelesaiannya, perlu diperhatikan perilaku fungsi saat mendekati batas integral. Kesimpulannya, integral tak wajar bentuk kedua dapat menimbulkan masalah atau divergen tergantung pada nilai p yang digunakan.

Bentuk kedua dari integral tidak wajar adalah bentuk seperti ini.

Integral dari 0,1 contohnya adalah integral dari 0,1 dari 1 per x pangkat p dx.

Sepintas kita seperti tidak dapat melihat bahwa ini adalah sebuah integral tak wajar.

Namun perhatikan bahwa kalau x sama dengan 0 maka x pangkat p akan menuju ke 0

dan 1 per x pangkat p juga akan blow up menuju ke tahinga atau ke mintahinga.

Jadi kita punya masalah untuk x yang sama dengan 0.

Meskipun 0 dan 1 batas-batasnya ini tidak menunjukkan bahwa dia adalah suatu ketidakwajaran.

Tetapi fungsi di dalam integralnya itu memiliki discontinuity

atau memiliki singularitas di salah satu batasnya.

Ini adalah tipe integral tak wajar yang kedua.

Jadi kita harus lagi-lagi harus menuliskan ini sebagai sebuah limit

Nah sekarang kamu harus memperhatikan bahwa integrasi yang kita lakukan itu antara 0 sampai 1.

Jadi kita lihat bahwa daerah definisi kita itu yang ini.

Jadi kalau saya ubah misalkan seperti tadi menjadi limit A menuju 0 sebab masalahnya di 0,

di 1 dia enggak ada masalah baik-baik saja jadi saya tidak perlu memusingkan 1 di situ

Jadi saya harus mendekati membuat menuliskannya sebagai integral ini

Ingat sekarang A menuju 0 itu artinya bisa datang dari sini bisa juga datang dari sini.

Tetapi untuk kasus ini kita tidak peduli bagaimana perilakunya kalau limit kalau A menuju 0 dari arah kiri.

Sebab daerah definisi integral kita itu adalah di sebelah kanan.

Jadi saya hanya perlu mendekati 0 dari arah kanan dan kita bisa hitung ini seperti tadi.

Dengan mengingat cerita yang tadi kalau saya pertama-tama tidak buat p nya sama dengan 1 terlebih dahulu,

saya pilih p tidak sama dengan 1 maka dia adalah limit A menuju 0 plus

integral ini tadi bisa kita hitung dia adalah 1 per 1-p dikali x pangkat 1-p dari antara A sampai 1.

Dan kalau kita lanjutkan di sini kita punya limit A menuju 0 plus dari 1 per 1-p

kemudian dikali dengan 1 dikurangi dengan A pangkat 1-p.

Nah kita punya lagi-lagi hal yang sama di sini yang mirip dengan yang tadi.

Perhatikan kalau p nya sekarang lebih besar dari 1.

Kalau p nya lebih besar dari 1 maka 1-p ini akan negatif.

Kalau p nya lebih besar dari 1 ini akan negatif.

Berarti ini akan muncul sebagai 1 per A pangkat sesuatu yang positif.

Padahal A nya menuju ke 0 berarti dia akan divergen.

Dia akan divergen karena kita akan punya 1 per A, A nya muncul di penyebut,

pangkat p malah jadi dia akan divergen seperti itu.

Sedangkan kalau p nya lebih kecil dari 1 maka kita akan dapatkan 1-p itu akan positif.

Sehingga kalau A nya menuju ke 0 integralnya akan baik-baik saja.

Dengan demikian kita dapatkan di sini menjadi 1 per 1-p.

Nah bagaimana kalau p nya sekarang sama dengan 1?

Kalau p nya sama dengan 1 maka integral ini salah.

Jadi pada dasarnya kita sedang menghitung integral dari 0 sampai 1 dari 1 per x dx.

Hasilnya harusnya dapat kita tuliskan menjadi limit A menuju 0 dari arah kanan.

Nah sekarang integral dari 1 per x itu adalah ln x dari A sampai 1.

Jadi kita akan berhadapan dengan limit A menuju 0 plus dari min ln A,

A nya menuju 0 plus dia akan tahinga, dia akan tahinga di sini.

Jadi sama dengan tahinga berarti akan masuk juga ke divergen.

Jadi di sini akan ada tambahan seperti itu.

Jadi kita lihat di sini bahwa integral tak wajar yang bentuk kedua

di batas-batasnya itu bilangan yang biasa tidak melibatkan ketahingaan.

Tetapi pada batasnya ini fungsi memiliki singularitas.

Dan hasilnya bisa sama dengan yang tadi, bisa punya masalah dengan yang tadi.