Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas intuisi solusi persamaan diferensial, konsep penting dalam kalkulus terkait dengan mekanika klasik. Newton mendesain kalkulus berdasarkan persamaan diferensial order 2. Contoh sederhana adalah masa tergantung pada pegas. Gaya pegas berbanding lurus dengan percepatan, sedangkan gaya gesekan berbanding lurus dengan kecepatan. Solusi persamaan diferensial ini dapat berbentuk kombinasi antara cosinus dan sinus.

Pada bagian ini kita akan membahas salah satu konsep yang penting di dalam kalkulus.

Dan mungkin salah satu yang paling penting.

Karena konsep ini sangat terkait dengan mekanika klasik, mekanika Newton.

Dan kemungkinan besar inilah yang menjadi pendorong utama untuk Newton mendesain seluruh kalkulus.

Nah, sebagai sebuah contoh yang sederhana, bayangkan kita memiliki sebuah masa yang tergantung pada sebuah pegas seperti ini.

Dan masa ini sudah berada di dalam keadaan setimbang, jadi dia berada tergantung tanpa bergerak sama sekali.

Untuk memodelkan persamaan ini kita harus meletakkan koordinat.

Dan koordinat diletakkan dengan menentukan dimana titik asalnya, yaitu X sama dengan 0.

Saya letakkan pada saat pegas ini tergantung diam tanpa bergerak.

Nah, kemudian untuk kalau pegas ini berada di bawah, masanya berada di bawah, itu saya katakan X yang positif.

Sedangkan untuk X, masanya berada di atas, itu yang kita katakan X-nya negatif.

Nah, hukum yang bekerja pada sistem ini itu disebut, dikenal dengan nama hukum Newton,

yaitu F, resultan gaya-gaya yang bekerja pada masa, itu selalu berbanding lurus dengan percepatannya.

Percepatan kalau posisinya adalah XT, pada saat T, maka percepatan itu adalah SX double aksen, seperti itu.

Nah, sekarang kita tinggal mendiskusikan gaya-gaya yang bekerja di dalam sistem.

Tentu saja kalau pegas masa ini saya tarik ke bawah, maka pegas akan menarik masa ini untuk kembali ke posisi semula.

Dia tidak suka kalau diregang begitu saja, dia ingin mengembalikan kepada posisi yang semula.

Nah, jadi kalau saya berada di dalam X yang positif, maka gaya-gaya pegas tersebut akan menarik saya ke atas.

Sedangkan kalau saya berada di atas, gaya pegas itu akan mendorong saya ke bawah.

Jadi, menurut hukum huk, gaya pegas itu akan sama dengan KX besarnya dan selalu berlawanan dengan posisi di mana saya berada.

Nah, kemudian juga kalau pegas ini sempurna, maka ketika saya lepas seperti itu, dia akan bergetar, naik, kemudian turun lagi, naik, turun lagi, dan terus seperti itu tanpa berhenti.

Kalau kita mengingat pegas, tentunya salah satu benda yang paling relevan dengan pegas ini salah satunya adalah mobil kita.

Ada shock breaker di situ, dan kebayang kalau pegas ini sempurna, maka kalau sampai mobil kita masuk ke lubang,

seperti ditarik ke bawah, terus kemudian mobilnya akan turun naik seperti itu terus menerus tanpa berhenti.

Tentu tidak nyaman naik mobil seperti itu. Kita ingin dia mungkin bergetar dulu beberapa saat, lalu kemudian berhenti seperti itu.

Jadi, kita perlu supaya pegasnya ini punya daya redam, dengan demikian kita tambahkan minus mu dikali dengan X aksen sebagai gaya gesekannya.

Nah, gaya gesekan ini tentu berbanding lurus dengan kecepatannya, kalau kecepatannya tinggi, gaya gesekannya tinggi, dan mu adalah konstanta pegasnya, sorry, koefisien gesekannya.

Nah, untuk sederhananya kita anggap sekarang mu nya 0 dulu, supaya kita bisa membayangkan solusinya seperti apa.

Jadi, kalau pegas itu saya tarik ke bawah, sejauh ini misalkan, maka pegas ini akan menarik saya kembali ke posisi 0,

tapi saya belum bisa berhenti di sini, karena masih terus ditarik oleh gaya F, sehingga saya akan melewati titik 0,0 sampai saya ada di posisi di bawah sini.

Dan kemudian sampai di sini saya berhenti, saya akan ditarik ke atas lagi oleh pegas, didorong lagi, sehingga saya akan kembali naik lagi ke atas, dan saya akan bergetar terus menerus seperti ini.

Itulah yang kita lihat dalam gerakan sebuah pegas, dan ini sangat sulit untuk mengertinya, sebab semuanya tertumpuk di sini.

Supaya kita dapat menganalisa solusinya dengan lebih baik, kita buat sumbu berikutnya, yang adalah sumbu T, dan kalau ini adalah sumbu T,

bayangkan bahwa saya tidak bergerak di sini, tapi saya juga berjalan oleh T, sehingga saya akan dapatkan bentuk yang seperti ini.

Dan kita lihat, kira-kira bentuk ini adalah bentuk cosinus, jadi kita berharap bahwa solusi persamaan diferensial ini akan memuat solusi-solusi yang berbentuk seperti kombinasi antara cosinus dan sinus.