Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konsep Kaidah Tangan Kanan dan Luas Berarah dalam Kalkulus 2, pada bab Geometri di Bidang dan Ruang. Kaidah tangan kanan digunakan untuk menentukan hasil dari cross product antara vektor. Selain itu, diperlihatkan penerapan kaidah ini dalam situasi sehari-hari seperti membuka tutup botol. Identitas Lagrang juga dijelaskan, yang menghubungkan panjang vektor dan hasil cross product. Luas berarah dari cross product disebut sebagai U cross V, yang merupakan luasan jajar genjang yang dibentuk oleh dua vektor dengan arah tertentu.

Dari sifat-sifat perkalian yang kita definisikan tadi, I x J sama dengan K, J x I sama dengan I,

kita mengenali apa yang disebut dengan kaedah tangan kanan.

Jadi kalau I kita cross dengan J, hasilnya haruslah adalah K.

Kalau J saya cross dengan K, hasilnya adalah I.

Dan K cross I, hasilnya adalah C. Seperti itu.

Dan kaedah tangan kanan ini juga yang menjadi konsensus untuk kita misalkan membuka tutup botol.

Kalau tutup botol selai misalkan seperti itu, untuk membukanya kita mau tutupnya arahnya ke atas,

maka kita harus memutarnya ke arah atas. Seperti itu.

Dan aturan yang sama juga digunakan untuk membuka keran dan lain sebagainya.

Dan juga aturan yang sama digunakan dalam ulir, dalam skrup untuk maju-mundurnya sebuah skrup.

Nah, dari hasil cross product seperti itu juga, kita dapat mengenali bahwa sifat-sifatnya yang pasti di sini adalah

kalau saya punya U, saya cross dengan V, hasilnya harus merupakan V di cross dengan U.

Ini adalah sifat yang penting di dalam cross product.

Dan kemudian yang kedua, saya punya apa yang dikenal dengan nama Lagrang Identity.

Yaitu, identitas itu berbentuk seperti ini bahwa panjang vektor U kuadrat,

kalau dikalikan dengan panjang vektor V kuadrat,

itu haruslah kemudian dikurangi dengan U dot V kuadrat,

maka dia adalah panjang dari U cross V kuadrat.

Meskipun ini terlihat kompleks dan tidak natural,

tapi dengan menghitung siapa, panjang U kuadrat, panjang V kuadrat,

kemudian ini, maka kita dapat memperlihatkan bahwa ruas kiri di sini sama dengan ruas kanan di sana.

Ini adalah identitas Lagrang seperti itu.

Nah, yang akan kita gunakan sekarang adalah,

yang akan saya perlihatkan sekarang adalah hanya menggunakan identitas ini.

Jadi kalau saya punya, saya tulis ulang ini, U kuadrat dikali dengan V kuadrat seperti ini,

dan kita sudah perlihatkan tadi bahwa U dot V itu adalah panjang U dikalikan dengan panjang V dikali dengan cos theta.

Kuadrat berarti akan muncul kuadrat di sini, cos ininya juga, dan ini akan muncul minus di sini.

Ini harus sama dengan panjang U cross V kuadrat.

Perhatikan bahwa ini sama, jadi saya dapat keluarkan di luar, panjang U kuadrat dikali dengan panjang V kuadrat,

dikali dengan satu min cos kuadrat theta, ini sama dengan panjang U cross V kuadrat,

Dengan demikian, dengan saya ambil akarnya semua, saya dapatkan bahwa panjang dari U cross V itu adalah panjang U dikali dengan panjang V dikali dengan sin theta.

Dengan demikian, ini menjadi sebuah sifat yang sangat penting,

bahwa panjang dari U cross V itu dapat dihitung dengan cara seperti ini.

Nah yang menarik adalah melihat interpretasi geometris dari ini.

Kalau saya punya vektor U seperti ini, dan saya punya vektor V seperti ini,

maka anggaplah kedua-duanya ini tergeletak pada papan tulis ini,

maka U cross V tidak lain adalah sebuah vektor yang menunjuk ke arah Anda semua di sini, keluar ke arah sini ya, seperti itu.

Nah tentu ini adalah panjang U, dan ini adalah panjang V.

Maka saya dapat menggambarkan sebuah jajar genjang seperti ini, jajar genjang seperti ini.

Nah perhatikan bahwa tinggi dari jajar genjang ini itu adalah ini,

dan kalau sudut ini adalah theta, maka tinggi ini haruslah merupakan ini dibagi ini, itu haruslah sin theta.

Jadi kalau saya hitung U dikali dengan V sin theta,

maka besaran ini adalah luasan ini, luas jajar genjang ini ya.

Jadi ini dan ini sama dengan panjang dari U cross V.

Jadi satu hal yang penting di sini bahwa U cross V seringkali disebut luas berarah.

Jadi UV itu besarnya menyatakan luasan dari jajar genjang yang dibentuk oleh vektor U dan vektor V,

tetapi dia mempunyai arah, arahnya yang mana? Yang ke arah sini.

Seperti apa arahnya? Kita akan lihat sebentar lagi.