Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konsep integral fungsi dua peubah, di mana integral untuk fungsi 2-peubah merupakan perumuman dari definisi integral untuk fungsi 1-peubah. Integral untuk fungsi 2-peubah dapat diinterpretasikan sebagai menghitung volume benda padat dengan dasar persegi. Proses pengintegralan dilakukan dengan iterated integrals, di mana kita menghitungnya satu persatu dengan memperlakukan variabel lain sebagai konstanta. Bentuk integral ini memudahkan perhitungan dibandingkan dengan menggunakan limit jumlah Riemann.

Seperti juga pada fungsi 1-peubah, integral untuk fungsi 2-peubah merupakan

perumuman yang natural dari definisi integral untuk fungsi 1-peubah.

Kita tahu bahwa pada fungsi 1-peubah integral didefinisikan sebagai limit jumlah riman

Demikian juga untuk fungsi 2-peubah disini kita dapat mendefinisikannya sebagai

Misalkan fungsi tersebut adalah fx,y dan persamaannya adalah grafiknya

seperti yang saya gambarkan ilustrasikan disini z sama dengan fx,y disini.

Nah kemudian kita punya sebuah daerah persegi disini di dalam sumbu x,y

Nah kalau kita lihat hanya pada sumbu x,y seperti ini maka daerah kotak ini

kurang lebih adalah daerah persegi seperti ini.

Jadi persis sama seperti fungsi 1-peubah kita seperti membagi interval ini

menjadi bagian-bagian kecil dengan lebar yang adalah delta x seperti itu.

Dan sumbu y juga kita bagi-bagi menjadi daerah-daerah kecil yang kira-kira

lebarnya juga adalah delta y bagian yang sama kurang lebih seperti itu.

Nah pada dasarnya yang dinamakan dengan integral untuk fungsi 2-peubah ini

kita seperti menghitung volume dari benda ini balok yang berbentuk seperti ini

Jadi misalkan saya pilih 1 buah disini yang kira-kira representasikannya

di 3 dimensi seperti itu maka luasan alas ini tidak lain adalah delta x

Nah kemudian kita kalikan dengan f x i, y j disini x i, y j seperti itu.

Jadi x i nya itu seperti siapa yang mewakili di titik ini x i

dan x y j adalah siapa yang mewakili di titik ini.

Misalkan disini adalah x i dan y j seperti itu.

Kemudian kita menjumlahkan seluruh i jadi kita seperti berjalan

pertama untuk j sama dengan 1 maka y 1 kita fixkan yang ini

kemudian kita jumlahkan semua ini seperti itu.

Kemudian untuk j sama dengan 2 kita naik disini kita jumlahkan semua ini

kemudian terus kita jumlahkan ini dan seterusnya berjalan seperti itu.

Jadi kita punya double sigma disini untuk penyumlahan ke arah horizontal

Dan kalau kita buat delta x nya menuju ke 0 delta y nya menuju ke 0

jadi partisi ini lebarnya semakin lemah semakin kecil

maka beliau akan bentuk limit jumlah riman ini akan menjadi sebuah integral

dan dari pendekatannya kita dapat melihat bahwa kurang lebih ini

merepresentasikan volume dari sebuah solid benda padat

dan kemudian alasnya adalah persegi seperti itu.

Nah daerah ini yang ada di dasar ini atau daerah ini

itulah yang dikenal dengan nama daerah pengintegralan.

Sedangkan daerah tutup ini fungsi f nya ini

itulah yang disebut dengan nama integran.

Dan tentunya kita tahu bahwa integral ini

kalau kita harus menghitung integralnya ini dengan menggunakan limit jumlah riman seperti ini

ini akan menjadi pekerjaan yang sangat sulit.

Nah oleh karena itu kita harus bisa membaca bahwa

bentuk integral ini itu dapat ditulis menjadi seperti ini

Nah dengan menggunakan bentuk ini kita memberi arti

untuk bagaimana caranya kita melakukan perhitungan.

Misalkan yang tadi kalau saya misalkan j nya sama dengan 1

y 1 berarti saya ada di dalam strip yang ini bagian yang bawah ini.

Nah sepanjang perhitungan saya dalam menjumlahkan ke kanan

Tambahkan hitung volume ini hitung volume ini hitung volume ini

volume ini volume ini volume ini di jumlahkan semuanya.

Kemudian kita naik baru y nya berubah y 2 seperti itu.

Demikian juga sama dengan ini ketika kita menghitung integral ini

kita akan memperlakukan semua y nya sebagai konstanta.

Kita hitung semuanya sebagai konstanta y nya fix

anggap berarti ini integral biasa yang biasa kita kenal di fungsi satu peubah.

Kita hitung dan setelah itu baru hasilnya adalah fungsi di dalam y

Bentuk ini itulah yang dinamakan dengan iterated integrals.

Jadi kita seperti melakukan pengintegralnya satu persatu.