Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konsep integral parsial dalam kalkulus 2, di mana terdapat teknik untuk menghitung antiturunan fungsi yang rumit. Integral parsial memungkinkan kita membalik integral dengan mengintegralkan v terhadap u. Melalui ilustrasi dan perhitungan luas area di bawah kurva, kita dapat menerapkan formula integral parsial untuk antiturunan dan integral. Dengan menyesuaikan batas integral ke dalam variabel x, kita dapatkan formula integral parsial yang lebih baik untuk menyelesaikan permasalahan integral.

Pada bagian ini kita akan memperkenalkan beberapa teknik untuk melakukan integral.

Untuk menghitung integral dari sebuah fungsi.

Teknik-teknik ini biasanya digunakan ketika fungsi-fungsi yang akan kita integralkan itu cukup rumit.

Sebelumnya kita akan memperkenalkan atau mengingatkan Anda tentang aturan Leibniz

yaitu aturan tentang turunan dari perkalian dua buah fungsi yang sudah kita kenal.

Yaitu turunan dari u kali v itu adalah u dikali dengan dvdx ditambah dengan v dikali dengan dudx.

Dan kalau kita melakukan integral terhadap aturan ini, jadi kita menghitung antiturunan dari fungsi ini

maka kita akan tuliskan ini adalah ddx dari uv kemudian kita integralkan terhadap dx.

Dan tentunya ruas kanannya juga akan kita terapkan yang sama.

Di sini dvdx dx ditambah dengan integral vx dudx dx.

Dan kita tahu bahwa integral atau antiturunan dari turunan tentu adalah dirinya sendiri.

Sehingga di sini kita dapatkan ux dikali dengan vx adalah

dan menurut aturan diferensial dvdx dikali dx itu adalah dv.

Jadi kita dapatkan di sini adalah udv ditambah dengan integral vdu.

Dengan demikian kita dapatkan sebuah formula bahwa kalau kita menghitung integral udv

ini hasilnya adalah ud kali dengan v dikurangi dengan integral vdu.

Ini didapat dengan cara memindahkan bagian integral sini ke ruas kiri.

Kemudian saya tulis dengan cara yang terbalik.

Nah dari formula ini, ini yang dikenal dengan nama integral parsial.

Kita melihat bahwa ada sebuah teknik untuk menghitung antiturunan dari sebuah fungsi.

Yang harus kita baca dari formula ini adalah ketika kita berhadapan dengan integral dari u

yang kebetulan fungsi u-nya cukup rumit atau kita tidak tahu antiturunannya

maka kita dapat membalik integralnya sehingga bukannya mengintegralkan u

tetapi kita akan terlibat dengan mengintegralkan v terhadap u.

Caranya adalah dengan cara kita harus menghitung v dan v dapat kita hitung dari formula ini.

Ini adalah integral parsial jika kita melihatnya dari sisi antiturunan.

Namun kita tahu bahwa integral juga merupakan limit jumlah Riemann

jadi dia menyatakan luas dari area di bawah kurva tertentu.

Dan untuk melihat integral parsial di dalam formula tersebut saya menggambarkan ilustrasi seperti ini.

Misalkan kita punya sebuah variable x di luar yang tidak saya gambarkan di sini

Nah waktu x-nya sama dengan A nilai v ada di vA dan waktu x-nya sama dengan B nilai v ada di vB.

Dan di dalam variable u dan v mereka terkait oleh sebuah aturan yaitu u adalah f dari v

atau kita dapat menuliskan bahwa v adalah f inverse dari u dan gambarnya kurang lebih seperti berikut.

Nah yang ingin kita lakukan sekarang adalah menghitung luasan dari area yang saya arsir dengan warna merah ini.

Dengan demikian melihat gambar ini saya tahu bahwa luasan tersebut harusnya adalah

integral dari vA sampai vB dikali dengan ekspresi fungsinya tentu adalah f dari v kemudian di sini dv karena ini adalah sumbu v.

Nah untuk menghitung luas ini kita dapat menghitung juga sebagai luasan dari kotak atau persegi panjang yang besar ini.

Dikurangi dengan persegi yang kecil seperti ini kemudian dikurangi dengan luasan ini.

Jadi dapat kita tulis sebagai ub dikali vB kemudian dikurangi dengan uA dikali dengan vA.

Ini adalah kotak yang besar ini dikurangi dengan kotak yang sebesar ini.

Belum sama mereka masih harus dikurangi lagi dengan kotak yang kecil ini.

Nah kita melihat di sini bahwa sekarang kita ekspresikan integral ini luasan ini sebagai integral tapi di dalam u.

Berarti saya punya di sini dari uA sampai uB kemudian fungsi ini tentu yang saya pakai tidak bisa yang ini

sebab ini artinya fungsinya di dalam v saya harus pakai yang inversenya f inverse u du seperti itu.

Nah kalau saya tulis ulang semuanya sekarang saya melihat bahwa mengingat bahwa v tersebut adalah fungsi di dalam A dan B

maka saya akan dapatkan bentuk yang seperti ini bahwa ini va sampai vB kemudian f adalah u udv

sama dengan bentuk ini tidak lain adalah perkalian antara u dan v yang dievaluasi di B kemudian dikurangi dengan yang dievaluasi di A.

Notasi kompak untuk ini adalah ux dikali vx dari A sampai B kemudian dikurangi dengan integral yang ini

dari uA sampai uB kemudian f inverse ini tidak lain adalah v du.

Jadi dengan kata lain kita punya formula integral parsial untuk antiturunan dan juga formula integral parsial

kalau kita bekerja dengan integral tentu.

Ada sedikit kesulitan di sini yaitu di sini integralnya terhadap v maka semua batas-batasnya harus di dalam v

dan di sini integralnya terhadap u jadi semua batas-batasnya harus di dalam u.

Nah kalau kita kembalikan ke dalam variable x maka kita akan dapatkan sebuah formula yang jauh lebih baik

yaitu integral dari A sampai B nah kita harus kembalikan ini berarti u nya kita tulis sebagai fungsi dalam x

kemudian dv tentunya adalah dv dx dx kemudian sama dengan ux dikali vx dari A sampai B dikurangi dengan

dan bagian ini kita tulis sebagai integral dari A sampai B vx du dx dx.

Dan ini adalah bentuk integral parsial yang dilengkapi dengan batasnya.

Konsep Integral Parsial

DEKSRIPSI

PENGAJAR

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

DEKSRIPSI

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.