Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konsep Integral Tak Wajar yang merupakan bentuk integral yang tidak dapat dihitung secara konvensional karena melibatkan nilai tak hingga. Integral tak wajar memperlihatkan dua hal, yaitu nilai bisa ada atau tidak ada. Untuk menangani nilai tak hingga, integral tersebut diekspresikan sebagai limit dari integral biasa dengan batas menuju tak hingga. Contoh perhitungan integral tak wajar akan diperlihatkan untuk lebih memahaminya.

Kita akan membahas konsep yang lain, kali ini yaitu apa yang dinaksud dengan integral tak wajar.

Ingat kita pernah punya apa yang dinamakan dengan Teorema Fundamental Kalkulus,

yaitu jika fx adalah sebuah fungsi yang memenuhi f aksen x sama dengan fx,

nama lainnya adalah f adalah antiturunan dari f kecil.

Maka besarnya integral a sampai b fx dx itu adalah dapat dievaluasi dengan menghitung

nilai f besar di b dikurangi dengan nilai f besar di a.

Dan ini tidak lain adalah menghitung luasan yang berada di bawah kurva y sama dengan fx

kalau y nya positif, kalau fx nya positif.

Luasan ini itu menyatakan kurang lebih menyatakan integral tersebut.

Nah, bentuk pertama dari integral tidak wajar ini adalah bentuk integral yang saya sebut

dengan bentuk yang paling vulgar, yaitu apa dari bentuknya sudah jelas

anda akan melihat ada ketidakwajaran, yaitu apa ada tak hingga di sini.

Jelas sekali bahwa anda tidak mungkin menerapkan Teorema Fundamental Kalkulus

sebab kalau kita terapkan Teorema Fundamental Kalkulus berarti kita harus menghitung nilai f di tak hingga

yang tentu saja tidak boleh kita lakukan seperti itu.

Jadi ini sudah jelas tidak mungkin dapat dikerjakan dengan menggunakan

Teorema Fundamental Kalkulus seperti itu.

Namun saya juga ingin memperlihatkan bahwa dalam dua contoh seperti ini

misalkan kita akan punya dua hal yang sangat berbeda.

Yang pertama kalau bentuknya integralnya adalah 1 per x kwadrat

di situ kita lihat bahwa grafiknya saya gambarkan seperti ini

maka menghitung integral dari 1 sampai tak hingga 1 per x kwadrat dx

itu kurang lebih adalah menghitung luasan ini.

Karena fx-nya menuju ke 0 dengan sangat cepat kita masih bisa berharap bahwa integral ini ada.

Kita akan perlihatkan nanti bahwa memang integral ini ada.

Sangat berbeda dengan fungsi fx sama dengan x per 1 per x.

Ini nilainya selalu lebih besar dari 1 sebab dia adalah 1 ditambah dengan 1 per x.

Jadi seperti fungsi 1 per x yang kemudian saya angkat ke atas sejauh 1.

Nah kalau saya terapkan integral tak wajar di sini

jadi saya menghitung integral dari 1 sampai tak hingga dari fungsi ini

kita lihat bahwa kita seperti menghitung luasan ini

Nah bayangkan kalau kita konsentrasi pada kotak yang ini

kita tahu bahwa luasan kotak ini jauh lebih kecil dari luasan area yang berada di bawah kurva ini

sebab bagian luasan ini tidak melibatkan perhitungan yang ini.

Jadi saya kehilangan informasi besaran ini.

Nah sedangkan besaran yang kotak ini saja kalau kita lihat tingginya selalu 1

dan alasnya itu panjangnya tak hingga dengan memikian luasannya pasti tak hingga.

Jadi saya tahu bahwa integral 1 sampai tak hingga dari x tambah 1 per x dx

Yang kata lain bahwa nilai ini juga harusnya tidak ada divergen

Yang kecil saja sudah divergen apalagi yang ini.

Nah jadi integral tak wajar itu mempunyai dua hal di sini.

Yang pertama bahwa dia bisa saja nilainya ada atau dia bisa nilainya tidak ada.

Oleh karena itu integral tak wajar seperti ini itu tidak dapat dikerjakan secara biasa

tapi harus ada suatu teknik lain untuk membuat kita bisa berhadapan dengan tak hingga ini.

Nah tentu saja kita tidak boleh mensubstitusi tak hingga ke dalam sini

tetapi yang dapat kita lakukan adalah menulis integral ini sebagai sebuah limit

limit B menuju tak hingga dari integral dari A sampai B dari fx dx.

Dan kalau kita tahu bahwa antiturunannya adalah f besar

berarti ini dapat kita hitung sebagai limit B menuju tak hingga dari fB dikurangi dengan fA.

Jadi kita seperti menghitung integral seperti biasa dengan batas yang kita ubah dari A ke B

dan B-nya sekarang kita buat menuju ke tak hingga.

Kita akan lihat beberapa contoh setelah ini.