Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas penggunaan koordinat polar sebagai alternatif untuk menyatakan posisi suatu titik selain menggunakan koordinat kartesius. Dalam koordinat polar, posisi ditentukan oleh pasangan R, θ dimana R ≥ 0 dan θ antara 0 hingga 2π. Koordinat polar berkaitan dengan koordinat kartesius melalui hubungan R = √(x² + y²) dan θ = arctan(y/x). Dengan memahami konsep ini, kita dapat mengonversi antara koordinat kartesius dan polar serta menggambarkan garis dan lingkaran dalam koordinat polar.

Selain menggunakan jarak terhadap dua buah garis yang berpotongan tegak lurus

sebagai salah satu cara untuk menyatakan posisi atau lokasi dari suatu titik,

Nah, misalkan kita punya posisi yang tertentu di sini

dan lagi-lagi saya gambarkan dua buah garis berpotongan di sini.

Jadi terhadap kedua garis ini koordinat kartesiusnya adalah x,y.

Nah, selain menggunakan jarak terhadap dua buah garis ini,

kita dapat juga menyatakan lokasi dari posisi ini dengan cara menghitung jaraknya ke titik pusat.

Dan jarak terhadap titik pusat ini itu biasanya dinyatakan dengan R,

serta kita juga menyatakannya dalam bentuk sudut seperti ini.

Sudutnya sebagai konsensus kita memutuskan bahwa

selalu kita ambil sudutnya itu terhadap sumbu x yang positif.

Nah, dengan demikian koordinat ini itu akan dapat juga lokasi ini,

posisi ini itu dapat juga dinyatakan sebagai pasangan R,θ

di mana R-nya itu selalu lebih besar sama dengan 0

dan θ itu hanya terletak di antara 0 sampai 2π.

Jadi kita memutuskan bahwa garis ini itu adalah θ sama dengan 0,

jadi 2π itu kurang lebih sampai mendekati garis ini, kira-kira seperti itu.

Dan apa kaitan yang mengaitkan antara kedua koordinat ini?

Kita tahu bahwa R itu harus merupakan x² ditambah y²

dan θ itu adalah arkes tangan dari y per x.

Itulah kaitan yang mengaitkan koordinat polar, koordinat Cartesius ke koordinat polar.

Ini dinamakan koordinat polar, mengaitkan Cartesius menjadi polar.

Jadi kalau saya tahu koordinat Cartesiusnya dengan formula ini

saya dapat menuliskan koordinat polarnya.

Sebaliknya saya juga dapat menuliskan koordinat x, Cartesiusnya,

Jadi kalau saya tahu ini adalah Rθ maka x itu tidak lain, x itu adalah yang ini.

Ini adalah x berarti dari segi tiga ini saya tahu bahwa x harusnya adalah R dikali dengan cosθ.

Sedangkan y itu adalah koordinat yang ini maka y adalah R dikali dengan sinθ.

Nah kalau saya menuliskan koordinat Cartesius dalam bentuk seperti ini

Di dalam koordinat polar kita lihat bahwa kita punya dua sumbu R dan θ.

Sumbu R itu hanya ada untuk R yang positif.

Serta sumbu θ-nya itu hanya sampai 2π seperti ini, terbatas sekali seperti itu.

Dan saya harus mengidentifikasikan setiap titik yang ada di sini dengan titik yang ada di sini.

Jadi misalkan saya membuat sebuah garis, ini kan R ya sumbu R, ini sumbu θ di situ.

Kalau saya membuat sebuah garis tegak di sini yang warna kuning ini,

ini artinya apa? Artinya R-nya selalu sama dengan tertentu.

Berarti ini R-nya 2, selalu 2 seperti itu.

Kalau saya kembali ke sini, θ-nya gimana?

θ-nya berjalan dari 0 sampai 2π, keseluruhan ini berjalan dari 0 sampai 2π.

Kalau θ-nya ada di 0 maka saya akan ada di titik x, 2, 0 akan ada di titik ini.

Jadi titik ini berkorespondensi dengan titik ini.

Kemudian waktu θ-nya berjalan maka jarak ini harus selalu sama, R-nya harus selalu sama dengan 2.

Jadi sebuah garis yang ada pada koordinat polar ini merupakan sebuah lingkaran di sini.

Sedangkan kalau saya mengambil sebuah garis yang melalui garis titik ini,

Y sama dengan MX seperti itu, saya tahu bahwa M di sini itu adalah tangan dari θ

di mana θ adalah sudut ini, sebutlah θ0.

θ adalah sudut ini, itu gradiennya kira-kira seperti itu.

Jadi sekarang yang saya punya adalah apa?

Bahwa untuk ini saya punya untuk R yang positif,

θ-nya itu sekarang garis ini Y sama dengan MX artinya θ-nya selalu sama dengan θ0.

Karena sudutnya selalu sama dengan θ0 di sini.

Jadi saya seperti punya sebuah garis yang berbentuk seperti ini.

Dan tentunya untuk yang negatif, saya akan mengambil yang θ0-nya sebelah sini.

Jadi saya akan punya 2 buah garis, ini θ0 dan kemudian kalau saya melihat sudut ini,

ini juga harus bentuknya θ0 dan ini adalah P.

Maka oke, saya revisi sedikit ya, terlalu tinggi ini.

Jadi saya tahu ini θ0, maka saya dapatkan sebuah garis ini.

Ini adalah garis yang ini, tapi ingat bahwa garis yang putih ini itu adalah garis yang ini saja.

Nah untuk mencari penggal garis yang ini bagaimana?

Well, R-nya tetap bebas karena terus memanjang seperti itu.

Dari geometri yang sederhana, kita tahu bahwa ini θ0, berarti ini juga θ0.

Jadi kita melihat θ0, kemudian kita tambahkan dengan P di sini.

Jadi saya mendapatkan garis yang seperti itu.

Jadi satu buah garis Y sama dengan MX di sini,

itu di dalam koordinat polar menjadi dua penggal garis.

Yang putih ini untuk θ yang positif, seperti ini.

Sedangkan ini untuk θ yang berada di kwadran yang ketiga.